什麼是有理根檢驗法？
有理根定理（又稱有理根檢驗法，Rational Zero Test）能列出整係數多項式所有可能的有理根。若一個多項式存在最簡分數形式的有理根 \(p/q\)，那麼 \(p\) 必為常數項的因數，而 \(q\) 必為最高次項係數的因數。本計算機會幫你列出完整的候選根清單，讓你能用綜合除法或直接代入逐一驗證。
如何使用
輸入多項式的常數項（\(a_0\)）與最高次項係數（\(a_n\)）。計算機會找出兩者所有的正整數因數，組合出每一個最簡分數 \(p/q\)，並以 \(\pm p/q\) 的形式呈現。最上方的數字代表所有相異候選根的總數，正負號都會分別計入。
公式說明
可能的有理根：
$$\frac{p}{q} = \pm\frac{\text{factors of }\text{Constant }(a_0)}{\text{factors of }\text{Leading }(a_n)}$$所有分數都會先化為最簡形式，再去除重複，因此 \(2/2\) 與 \(1/1\) 只會計算一次。每一個相異的分數會產生兩個候選根（一正一負）。
範例演練
以 \(2x^3 - x^2 - 6\) 為例，常數項為 \(6\)（因數有 \(1\)、\(2\)、\(3\)、\(6\)），最高次項係數為 \(2\)（因數有 \(1\)、\(2\)）。化簡後相異的分數 \(p/q\) 為：\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(6\)、\(1/2\)、\(3/2\)，共 \(6\) 種不同的數值。再計入正負號，便得到 \(12\) 個可能的有理根：\(\pm 1\)、\(\pm 2\)、\(\pm 3\)、\(\pm 6\)、\(\pm 1/2\)、\(\pm 3/2\)。
常見問題
這個定理能保證一定存在有理根嗎？不能。它只負責列出候選根，多項式有可能完全沒有任何有理根。
為什麼要取輸入值的絕對值？因為只有因數的大小才有意義，正負號已經由 \(\pm\) 一併處理了。
如果最高次項係數是 1 呢？那麼 \(q\) 只能是 \(1\)，因此可能的有理根就只是常數項各因數的 \(\pm\)（這就是所謂的整數根定理）。
