Kiểm tra nghiệm hữu tỉ là gì?
Định lý Nghiệm Hữu Tỉ (còn gọi là phép kiểm tra nghiệm hữu tỉ) cho ta tất cả các nghiệm hữu tỉ có thể có của một đa thức với hệ số nguyên. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ \(p/q\) ở dạng tối giản, thì \(p\) phải là ước của hệ số tự do và \(q\) phải là ước của hệ số bậc cao nhất. Công cụ này lập sẵn danh sách đầy đủ các nghiệm "ứng viên" để bạn lần lượt thử lại bằng phép chia Horner (chia tổng hợp) hoặc thay trực tiếp vào đa thức.
Cách sử dụng
Nhập hệ số tự do (a₀) và hệ số bậc cao nhất (aₙ) của đa thức. Máy tính sẽ tìm mọi ước nguyên dương của từng hệ số, lập tất cả các phân số tối giản \(p/q\) và trình bày dưới dạng \(\pm p/q\). Con số nổi bật ở đầu sẽ đếm tổng số ứng viên khác nhau, đã tính cả dấu cộng và dấu trừ.
Giải thích công thức
Các nghiệm có thể có:
$$\frac{p}{q} = \pm\frac{\text{ước của hệ số tự do}}{\text{ước của hệ số bậc cao nhất}}$$Các phân số trùng nhau sẽ bị loại sau khi rút gọn về dạng tối giản, nên \(2/2\) và \(1/1\) chỉ được tính một lần. Mỗi phân số khác nhau đóng góp hai ứng viên (một giá trị dương và một giá trị âm).
Ví dụ minh họa
Với đa thức \(2x^3 - x^2 - 6\), hệ số tự do là 6 (các ước \(1, 2, 3, 6\)) và hệ số bậc cao nhất là 2 (các ước \(1, 2\)). Các phân số tối giản \(p/q\) khác nhau gồm: \(1, 2, 3, 6, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\) — tức là 6 giá trị khác nhau về độ lớn. Khi tính thêm dấu \(\pm\), ta có 12 nghiệm hữu tỉ có thể có: $$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm\tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{3}{2}.$$
Câu hỏi thường gặp
Định lý có đảm bảo đa thức luôn có nghiệm hữu tỉ không? Không. Định lý chỉ liệt kê các ứng viên; trên thực tế đa thức có thể hoàn toàn không có nghiệm hữu tỉ nào.
Vì sao lại lấy giá trị tuyệt đối của dữ liệu nhập vào? Vì chỉ độ lớn của các ước mới quan trọng, còn dấu thì đã được dấu \(\pm\) xử lý sẵn.
Nếu hệ số bậc cao nhất bằng 1 thì sao? Khi đó \(q\) chỉ có thể bằng 1, nên các nghiệm có thể có chính là \(\pm\) các ước của hệ số tự do (đây là Định lý Nghiệm Nguyên).
