Qu'est-ce que la grande diagonale d'un pavé droit ?
Un pavé droit (aussi appelé parallélépipède rectangle ou « boîte ») est un solide à six faces rectangulaires. La grande diagonale est le plus long segment de droite que l'on puisse tracer à l'intérieur : elle relie un sommet au sommet diamétralement opposé en traversant le volume du pavé. Ce calculateur la détermine instantanément à partir de la longueur, de la largeur et de la hauteur.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez les trois dimensions — la longueur (l), la largeur (L) et la hauteur (h) — dans une unité cohérente, identique pour les trois (cm, pouces, mètres, etc.). Le calculateur affiche la grande diagonale dans cette même unité, ainsi que la diagonale de la face longueur-largeur, le volume et la surface totale, pour plus de praticité.
La formule expliquée
La grande diagonale s'obtient en appliquant deux fois le théorème de Pythagore. On calcule d'abord la diagonale de la base : \(\sqrt{l^2 + L^2}\). Cette diagonale de la base et la hauteur forment ensuite un triangle rectangle, ce qui donne la grande diagonale complète :
$$d = \sqrt{l^2 + L^2 + h^2}$$
Comme les trois termes sont élevés au carré puis additionnés, l'ordre de l, L et h ne change rien au résultat.
Exemple concret
Imaginons une boîte dont les dimensions sont \(l = 3\), \(L = 4\) et \(h = 12\). On a alors $$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$ La grande diagonale vaut donc exactement 13 unités : c'est la longueur du plus grand objet rectiligne qui peut tenir en travers à l'intérieur de la boîte.
FAQ
La diagonale dépend-elle de l'arête choisie comme hauteur ? Non. Permuter l, L et h donne la même diagonale, puisqu'elles sont toutes élevées au carré puis additionnées.
Quelles unités utiliser ? N'importe laquelle, à condition que l, L et h partagent la même. La diagonale est obtenue dans cette unité.
Quelle différence entre la grande diagonale et une diagonale de face ? Une diagonale de face traverse une seule face rectangulaire plane (en 2D), tandis que la grande diagonale traverse l'intérieur du solide (en 3D) et est toujours plus longue.
