직육면체의 공간 대각선이란?
직육면체(상자 모양)는 여섯 개의 직사각형 면으로 이루어진 입체 도형입니다. 공간 대각선은 상자 내부를 가로질러 한 꼭짓점에서 정반대편 꼭짓점까지 잇는, 상자 안에 그릴 수 있는 가장 긴 직선을 말합니다. 이 계산기는 가로·세로·높이만 넣으면 그 대각선 길이를 바로 구해 줍니다.
계산기 사용 방법
세 변의 길이, 즉 가로(\(l\))·세로(\(w\))·높이(\(h\))를 같은 단위(cm, inch, m 등)로 입력하세요. 단위만 통일하면 됩니다. 계산기는 같은 단위로 공간 대각선을 알려 주고, 함께 가로-세로 면 대각선, 부피, 겉넓이까지 보여 줍니다.
공식 자세히 보기
공간 대각선은 피타고라스 정리를 두 번 적용해서 구합니다. 먼저 밑면을 가로지르는 대각선은 \(\sqrt{l^{2} + w^{2}}\)입니다. 이 밑면 대각선과 높이가 직각삼각형을 이루므로, 전체 공간 대각선은 다음과 같습니다.
$$d = \sqrt{l^{2} + w^{2} + h^{2}}$$
세 값을 모두 제곱해서 더하기 때문에, \(l\)·\(w\)·\(h\)의 순서가 바뀌어도 결과는 똑같습니다.
예제로 풀어보기
상자의 크기가 \(l = 3\), \(w = 4\), \(h = 12\)라고 해 봅시다. 그러면 $$d = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 12^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$$이 됩니다. 즉 공간 대각선은 정확히 13단위이며, 이는 상자 내부를 곧게 가로질러 들어갈 수 있는 가장 긴 길이입니다.
자주 묻는 질문
어느 변을 높이로 보느냐에 따라 대각선이 달라지나요? 아니요. \(l\)·\(w\)·\(h\)를 서로 바꿔도 모두 제곱해서 더하므로 대각선은 같습니다.
어떤 단위를 쓰나요? \(l\)·\(w\)·\(h\)가 같은 단위이기만 하면 어떤 단위든 괜찮습니다. 대각선도 그 단위로 나옵니다.
공간 대각선과 면 대각선은 어떻게 다른가요? 면 대각선은 평평한 직사각형 면 하나(2차원)만 가로지르지만, 공간 대각선은 입체 내부(3차원)를 지나가며 언제나 더 깁니다.
