बीम डिफ्लेक्शन कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल उस कैंटिलीवर बीम के मुक्त सिरे पर अधिकतम डिफ्लेक्शन (झुकाव) की गणना करता है जिसके सिरे पर एक केंद्रित पॉइंट लोड लगा हो। कैंटिलीवर वह बीम है जो एक सिरे पर मजबूती से जकड़ी होती है और दूसरा सिरा खुला रहता है — जैसे बालकनी, डाइविंग बोर्ड या कोई ब्रैकेट। भार पड़ने पर मुक्त सिरा एक निश्चित मात्रा में नीचे झुकता है, जो भार, बीम की लंबाई और उसकी दृढ़ता पर निर्भर करता है। यह परिणाम SI इकाइयों में किसी भी रैखिक रूप से प्रत्यास्थ (linearly elastic) पदार्थ पर सार्वत्रिक रूप से लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
मुक्त सिरे पर लगने वाला पॉइंट लोड F न्यूटन (N) में, बीम की लंबाई L मीटर (m) में, पदार्थ का यंग मापांक E पास्कल (Pa) में, और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I m⁴ में दर्ज करें। कैलकुलेटर सिरे का डिफ्लेक्शन मिलीमीटर और मीटर दोनों में बताएगा।
सूत्र की व्याख्या
इसका मूल समीकरण है:
$$\delta = \frac{F \cdot L^{3}}{3 \cdot E \cdot I}$$डिफ्लेक्शन लंबाई के घन (cube) के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए कैंटिलीवर की लंबाई दोगुनी करने पर उसका झुकाव आठ गुना हो जाता है। दृढ़ता गुणनफल \(E \cdot I\) से आती है: अधिक दृढ़ पदार्थ (ऊँचा \(E\)) और मोटे अनुप्रस्थ काट (ऊँचा \(I\)) झुकने का प्रतिरोध करते हैं। हर में लगा गुणक 3 खास तौर पर सिरे पर एकल पॉइंट लोड वाली कैंटिलीवर के लिए है।
हल किया गया उदाहरण
एक स्टील की कैंटिलीवर (\(E = 200\ \text{GPa} = 2\times10^{11}\ \text{Pa}\)), लंबाई \(L = 2\ \text{m}\), और \(I = 1\times10^{-7}\ \text{m}^4\) के सिरे पर \(F = 1000\ \text{N}\) भार लगा है। तब $$\delta = \frac{1000 \times 2^{3}}{3 \times 2\times10^{11} \times 1\times10^{-7}} = \frac{8000}{60000} = 0.1333\ \text{m} \approx 133.3\ \text{mm}$$
विशिष्ट यंग का मापांक मान
यंग का मापांक \(E\) किसी सामग्री की कठोरता को मापता है — अक्षीय तनाव के तहत लोचदार विरूपण के प्रति इसका प्रतिरोध। कैंटिलीवर विक्षेपण सूत्र में, एक उच्च \(E\) एक छोटे विक्षेपण का उत्पादन करता है। नीचे दिए गए मान नाममात्र इंजीनियरिंग आंकड़े हैं; वास्तविक सामग्री गुण ग्रेड, तापमान, नमी, और लोडिंग की दिशा के साथ भिन्न होते हैं (लकड़ी और मिश्रित सामग्री दृढ़ता से अनिसोट्रोपिक हैं)।
| सामग्री | \(E\) (GPa) | \(E\) (Pa) |
|---|---|---|
| संरचनात्मक स्टील | ~200 | \(2.0\times10^{11}\) |
| एल्यूमिनियम मिश्र धातु | ~69 | \(6.9\times10^{10}\) |
| कंक्रीट (सामान्य-वजन) | ~30 | \(3.0\times10^{10}\) |
| ग्लास-प्रबलित प्लास्टिक (GRP/फाइबरग्लास) | ~17–35 | \(1.7\text{–}3.5\times10^{10}\) |
| ओक / संरचनात्मक लकड़ी (अनाज के साथ) | ~11 | \(1.1\times10^{10}\) |
नोट: ये केवल मार्गदर्शन के लिए नाममात्र माध्य मान हैं। डिजाइन कार्य के लिए, सटीक सामग्री ग्रेड और मानक (उदा. EN, ASTM) के लिए निर्दिष्ट मापांक का उपयोग करें जिससे आप काम कर रहे हैं। GPa को Pa में बदलने के लिए, \(10^9\) से गुणा करें (\(1\ \text{GPa} = 10^9\ \text{Pa}\))।
परिभाषाएँ और शब्दावली
- बिंदु भार \(F\) — एक बल जो एक बिंदु पर कार्य करता है, यहाँ कैंटिलीवर के मुक्त सिरे पर। SI इकाई: न्यूटन (N)।
- लंबाई \(L\) — कैंटिलीवर की अवधि जिसे स्थिर समर्थन से उस बिंदु तक मापा जाता है जहाँ भार लागू किया जाता है (मुक्त सिरा)। SI इकाई: मीटर (m)।
- यंग का मापांक \(E\) — बीम सामग्री का लोचदार (कठोरता) मापांक, रैखिक श्रेणी में अक्षीय तनाव का अक्षीय तनाव से अनुपात। SI इकाई: पास्कल (Pa); अक्सर GPa में उद्धृत किया जाता है।
- क्षेत्र का दूसरा क्षण \(I\) — क्रॉस-अनुभाग की एक ज्यामितीय संपत्ति जो तटस्थ अक्ष के बारे में झुकने के प्रति इसके प्रतिरोध का वर्णन करती है; केवल आकार और आयाम पर निर्भर करती है। SI इकाई: \(\text{m}^4\)।
- कैंटिलीवर — एक बीम कठोरता से एक सिरे पर स्थिर (निर्मित) और दूसरे पर असमर्थित, इसलिए सभी समर्थन प्रतिक्रिया स्थिर सिरे पर होती है।
- विक्षेपण \(\delta\) — बीम का अपनी विकृत स्थिति से ऊर्ध्वाधर विस्थापन; एक सिरे-लोडित कैंटिलीवर के लिए यह मुक्त सिरे पर अधिकतम है और \(FL^3/(3EI)\) के बराबर है। SI इकाई: मीटर (m)।
- स्थिर (निर्मित) सिरा — समर्थन जो अनुवाद और घुमाव दोनों का प्रतिरोध करता है, एक प्रतिक्रिया बल और एक प्रतिक्रिया क्षण प्रदान करता है; बीम की ढलान वहाँ शून्य है।
- मुक्त सिरा — कैंटिलीवर का असमर्थित सिरा, जहाँ बिंदु भार लागू किया जाता है और जहाँ विक्षेपण सबसे बड़ा है।
- रैखिक-लोचदार धारणा — विश्लेषण मानता है कि सामग्री हुक के नियम (तनाव तनाव के समानुपाती) का पालन करती है, विक्षेपण छोटे हैं, और बीम अनलोड होने पर अपनी मूल आकृति में लौट आता है; एक बार सामग्री उपज करती है या विक्षेपण बड़े हो जाते हैं तो परिणाम अमान्य हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह सरल आधारित (simply supported) बीम के लिए काम करता है? नहीं — उस स्थिति में अलग नियतांक प्रयोग होता है (जैसे केंद्रीय भार के लिए \(\frac{F \cdot L^{3}}{48EI}\))। यह कैलकुलेटर केवल सिरे पर भार वाली कैंटिलीवर के लिए है।
मुझे कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करनी चाहिए? सब कुछ SI में रखें: न्यूटन, मीटर, पास्कल, और जड़त्व के लिए m⁴। तब परिणाम मीटर में आएगा (साथ ही mm में भी दिखाया जाता है)।
मैं I कैसे ज्ञात करूँ? चौड़ाई b और ऊँचाई h वाले ठोस आयत के लिए \(I = \frac{b \cdot h^{3}}{12}\)। व्यास d वाले वृत्ताकार काट के लिए \(I = \frac{\pi \cdot d^{4}}{64}\)।
