ما هي حاسبة انحراف العتبة؟
تحسب هذه الأداة أقصى انحراف عند الطرف الحر لـعتبة كابولية تحمل حملاً نقطياً مركّزاً عند طرفها. والعتبة الكابولية هي عتبة مثبّتة بإحكام من أحد طرفيها وحرّة من الطرف الآخر — تخيّل شرفة بارزة، أو لوح غطس، أو كتيفة تثبيت. وتحت تأثير الحمل ينخفض الطرف الحر بمقدار يمكن التنبؤ به، يتحكم فيه الحمل وطول العتبة وصلابتها. وتنطبق النتيجة بصورة عامة (بوحدات النظام الدولي SI) على أي مادة مرنة خطياً.
طريقة الاستخدام
أدخل الحمل النقطي F بالنيوتن (N) المطبَّق عند الطرف الحر، وطول العتبة L بالأمتار (m)، ومعامل يونغ للمادة E بالباسكال (Pa)، وعزم القصور الذاتي للمقطع I بوحدة م⁴. تُعيد الحاسبة قيمة انحراف الطرف بالمليمتر والمتر معاً.
شرح المعادلة
المعادلة الحاكمة هي:
$$\delta = \frac{F \cdot L^{3}}{3 \cdot E \cdot I}$$
يتزايد الانحراف مع مكعّب الطول، لذا فإن مضاعفة طول العتبة الكابولية يزيد انخفاضها ثمانية أضعاف. أما الصلابة فتأتي من حاصل ضرب \(E \cdot I\)؛ إذ تقاوم المواد الأكثر صلابة (\(E\) عالية) والمقاطع الأضخم (\(I\) عالية) الانحناء. والعامل 3 في المقام خاصٌّ بالعتبة الكابولية ذات الحمل النقطي الطرفي الوحيد.
مثال محلول
عتبة كابولية فولاذية (\(E = 200\) جيجاباسكال \(= 2\times10^{11}\) باسكال)، طولها \(L = 2\) م، وعزم قصورها الذاتي \(I = 1\times10^{-7}\) م⁴، تحمل \(F = 1000\) نيوتن عند الطرف. عندئذٍ $$\delta = \frac{1000 \times 2^{3}}{3 \times 2\times10^{11} \times 1\times10^{-7}} = \frac{8000}{60000} = 0.1333 \text{ م} \approx 133.3 \text{ مم}.$$
قيم معامل يونج النموذجية
معامل يونج \(E\) يقيس صلابة المادة — مقاومتها للتشوه المرن تحت الإجهاد المحوري. في صيغة انحراف الكابول، يؤدي معامل يونج الأعلى إلى انحراف أصغر. القيم أدناه هي أرقام هندسية اسمية؛ خصائص المواد الحقيقية تختلف حسب الدرجة ودرجة الحرارة والرطوبة واتجاه الحمل (الخشب والمواد المركبة متباينة الخواص بشدة).
| المادة | \(E\) (GPa) | \(E\) (Pa) |
|---|---|---|
| الفولاذ الإنشائي | ~200 | \(2.0\times10^{11}\) |
| سبيكة الألومنيوم | ~69 | \(6.9\times10^{10}\) |
| الخرسانة (ذات الوزن الطبيعي) | ~30 | \(3.0\times10^{10}\) |
| البلاستيك المقوى بالألياف الزجاجية (GRP/fibreglass) | ~17–35 | \(1.7\text{–}3.5\times10^{10}\) |
| البلوط / خشب إنشائي (على طول الحبة) | ~11 | \(1.1\times10^{10}\) |
ملاحظة: هذه قيم متوسطة اسمية للتوجيه فقط. للعمل في التصميم، استخدم معامل يونج المحدد لدرجة المادة والمعيار الدقيق (مثل EN أو ASTM) الذي تعمل به. لتحويل GPa إلى Pa، اضرب في \(10^9\) (\(1\ \text{GPa} = 10^9\ \text{Pa}\)).
التعريفات والمسرد
- الحمل المركزي \(F\) — قوة يُفترض أن تؤثر عند نقطة واحدة، وهنا عند الطرف الحر للكابول. وحدة SI: نيوتن (N).
- الطول \(L\) — امتداد الكابول المقاس من الدعم الثابت إلى النقطة التي يُطبّق عندها الحمل (الطرف الحر). وحدة SI: متر (m).
- معامل يونج \(E\) — معامل المرونة (الصلابة) لمادة الكمرة، النسبة بين الإجهاد المحوري والانفعال المحوري في النطاق الخطي. وحدة SI: باسكال (Pa)؛ غالباً ما يُعبّر عنه بـ GPa.
- اللحظة الثانية للمساحة \(I\) — خاصية هندسية للمقطع العرضي تصف مقاومته للانحناء حول المحور المحايد؛ تعتمد فقط على الشكل والأبعاد. وحدة SI: \(\text{m}^4\).
- الكابول — كمرة مثبتة بصلابة (مرقدة) عند أحد الطرفين وغير مدعومة عند الطرف الآخر، لذلك تحدث جميع ردود الفعل الداعمة عند الطرف الثابت.
- الانحراف \(\delta\) — الإزاحة الشاقولية للكمرة من موضعها غير المشوّه؛ بالنسبة لكابول محمّل عند الطرف الحر، فإنه أقصى عند الطرف الحر ويساوي \(FL^3/(3EI)\). وحدة SI: متر (m).
- الطرف الثابت (المرقد) — الدعم الذي يقاوم الإزاحة والدوران، مما يوفر قوة رد فعل وعزم رد فعل؛ ميل الكمرة يكون صفراً هناك.
- الطرف الحر — الطرف غير المدعوم للكابول، حيث يُطبّق الحمل المركزي وحيث يكون الانحراف أكبر.
- افتراض المرونة الخطية — يفترض التحليل أن المادة تتبع قانون هوك (الإجهاد متناسب مع الانفعال)، والانحرافات صغيرة، والكمرة تعود إلى شكلها الأصلي عند إزالة الحمل؛ النتائج غير صحيحة بمجرد أن تتجاوز المادة الخضوع أو تصبح الانحرافات كبيرة.
الأسئلة الشائعة
هل تصلح هذه الأداة لعتبة بسيطة الاستناد؟ لا — فتلك الحالة تستخدم ثابتاً مختلفاً (مثل \(F \cdot L^{3}/48EI\) للحمل المركزي). هذه الحاسبة مخصّصة تحديداً للعتبة الكابولية المحمّلة عند طرفها.
ما الوحدات التي ينبغي استخدامها؟ التزم بوحدات النظام الدولي SI في كل شيء: النيوتن، والأمتار، والباسكال، ووحدة م⁴ لعزم القصور الذاتي. وتكون النتيجة عندئذٍ بالأمتار (وتظهر أيضاً بالمليمتر).
كيف أحسب عزم القصور الذاتي I؟ لمقطع مستطيل مصمت عرضه b وارتفاعه h، فإن \(I = b \cdot h^{3}/12\). ولمقطع دائري قطره d، فإن \(I = \pi \cdot d^{4}/64\).
