什麼是懸臂樑撓度計算器？
本工具用來計算懸臂樑在自由端承受集中載重時，末端所產生的最大撓度。所謂懸臂樑，是指一端被剛性固定、另一端自由懸空的樑——像是陽台、跳水板或牆面托架都屬於這類結構。在載重作用下，自由端會下垂一定的量，而這個下垂量取決於載重大小、樑長與樑的剛度。由於採用國際單位制（SI），計算結果適用於任何呈線彈性的材料。
使用方式
請輸入施加於自由端的集中載重 F（單位：牛頓 N）、樑長 L（單位：公尺 m）、材料的楊氏模數 E（單位：帕斯卡 Pa），以及截面的慣性矩 I（單位：\(\text{m}^4\)）。計算器會同時以毫米與公尺顯示末端撓度。
公式解析
本計算所依據的方程式為：
$$\delta = \frac{\text{Load }F \cdot \text{Length }L^{3}}{3 \cdot \text{Modulus }E \cdot \text{Inertia }I}$$撓度與樑長的三次方成正比，因此把懸臂樑的長度加倍，下垂量會放大為原來的八倍。剛度則來自 \(E \cdot I\) 的乘積：材料越硬（\(E\) 越大）、截面越粗壯（\(I\) 越大），就越能抵抗彎曲。分母中的係數 3，正是針對「單一自由端集中載重的懸臂樑」這種情況所特有的數值。
計算範例
有一根鋼製懸臂樑（\(E = 200\ \text{GPa} = 2 \times 10^{11}\ \text{Pa}\)），長度 \(L = 2\ \text{m}\)，慣性矩 \(I = 1 \times 10^{-7}\ \text{m}^4\)，末端承受 \(F = 1000\ \text{N}\) 的載重。則 $$\delta = \frac{1000 \times 2^{3}}{3 \times 2 \times 10^{11} \times 1 \times 10^{-7}} = \frac{8000}{60000} = 0.1333\ \text{m} \approx 133.3\ \text{mm}$$
典型楊氏係數值
楊氏係數 \(E\) 測量材料的剛度——其在軸向應力下對彈性變形的抵抗力。在懸臂梁撓度公式中，較高的 \(E\) 會產生較小的撓度。以下數值是名義工程數據；實際材料特性隨等級、溫度、濕度和加載方向而異（木材和複合材料具有強烈的各向異性）。
| 材料 | \(E\) (GPa) | \(E\) (Pa) |
|---|---|---|
| 結構鋼 | ~200 | \(2.0\times10^{11}\) |
| 鋁合金 | ~69 | \(6.9\times10^{10}\) |
| 混凝土（普通重量） | ~30 | \(3.0\times10^{10}\) |
| 玻璃纖維增強塑料（GRP/玻璃纖維） | ~17–35 | \(1.7\text{–}3.5\times10^{10}\) |
| 橡木 / 結構木材（沿紋理） | ~11 | \(1.1\times10^{10}\) |
注意：這些是僅供指導用途的名義平均值。對於設計工作，請使用為您所使用的確切材料等級和標準（例如 EN、ASTM）指定的係數。要將 GPa 轉換為 Pa，請乘以 \(10^9\)（\(1\ \text{GPa} = 10^9\ \text{Pa}\)）。
定義與詞彙表
- 點載荷 \(F\) — 假定在單一點作用的力，此處在懸臂梁的自由端。SI 單位：牛頓 (N)。
- 長度 \(L\) — 懸臂梁從固定支座到施加載荷點（自由端）的跨度。SI 單位：公尺 (m)。
- 楊氏係數 \(E\) — 梁材料的彈性（剛度）係數，線性範圍內軸向應力與軸向應變的比值。SI 單位：帕斯卡 (Pa)；通常以 GPa 表示。
- 二階矩 \(I\) — 截面的幾何特性，描述其繞中性軸抵抗彎曲的能力；僅取決於形狀和尺寸。SI 單位：\(\text{m}^4\)。
- 懸臂梁 — 在一端剛性固定（內建），在另一端不受支撐的梁，因此所有支座反力都發生在固定端。
- 撓度 \(\delta\) — 梁從其未變形位置的垂直位移；對於端部受載的懸臂梁，在自由端處最大，等於 \(FL^3/(3EI)\)。SI 單位：公尺 (m)。
- 固定（內建）端 — 同時抵抗平移和旋轉的支座，提供反力和反力矩；梁斜度在此處為零。
- 自由端 — 懸臂梁的不受支撐的端，施加點載荷的位置，撓度最大的地方。
- 線性彈性假設 — 分析假定材料遵循虎克定律（應力與應變成正比），撓度很小，卸載時梁恢復到原始形狀；一旦材料屈服或撓度變大，結果就失效了。
常見問題
這個公式可以用在簡支樑嗎？不行——簡支樑使用的常數不同（例如中央載重為 \(F \cdot L^{3}/48EI\)）。本計算器專門適用於自由端受載的懸臂樑。
我該使用什麼單位？請一律採用國際單位制（SI）：牛頓、公尺、帕斯卡，慣性矩則用 \(\text{m}^4\)。如此一來，輸出結果即為公尺（同時也以毫米顯示）。
慣性矩 I 要怎麼求？對於寬 \(b\)、高 \(h\) 的實心矩形截面，\(I = b \cdot h^{3}/12\)；對於直徑 \(d\) 的圓形截面，\(I = \pi \cdot d^{4}/64\)。
