외팔보 처짐 계산기란?
이 계산기는 끝단(자유단)에 집중하중이 작용하는 외팔보(캔틸레버, cantilever)의 최대 처짐량을 구합니다. 외팔보는 한쪽 끝이 단단히 고정되고 반대쪽 끝은 자유로운 보를 말합니다. 발코니, 다이빙대, 벽에 고정된 브래킷을 떠올리면 쉽습니다. 하중이 가해지면 자유단이 일정한 양만큼 아래로 처지는데, 그 크기는 하중, 보의 길이, 그리고 보의 강성에 의해 결정됩니다. 계산 결과는 SI 단위를 사용하므로 선형 탄성 거동을 보이는 모든 재료에 그대로 적용할 수 있습니다.
사용 방법
자유단에 작용하는 집중하중 F를 뉴턴(N) 단위로, 보의 길이 L을 미터(m) 단위로, 재료의 탄성계수(영률) E를 파스칼(Pa) 단위로, 그리고 단면의 단면 2차 모멘트 I를 m⁴ 단위로 입력하세요. 계산기는 자유단의 처짐량을 밀리미터(mm)와 미터(m) 두 가지로 함께 보여줍니다.
공식 풀이
외팔보 처짐을 지배하는 식은 다음과 같습니다.
$$\delta = \frac{F \cdot L^{3}}{3 \cdot E \cdot I}$$
처짐량은 길이의 세제곱에 비례해 커집니다. 따라서 외팔보의 길이를 2배로 늘리면 처짐은 무려 8배로 증가합니다. 강성은 \(E \cdot I\)의 곱에서 나오는데, 더 단단한 재료(높은 \(E\))와 더 튼튼한 단면(높은 \(I\))일수록 휨에 잘 견딥니다. 분모의 계수 3은 자유단에 하나의 집중하중이 작용하는 외팔보에만 해당하는 값입니다.
계산 예시
강재 외팔보(\(E = 200 \text{ GPa} = 2 \times 10^{11} \text{ Pa}\)), 길이 \(L = 2 \text{ m}\), \(I = 1 \times 10^{-7} \text{ m}^4\)인 보의 끝단에 \(F = 1000 \text{ N}\)의 하중이 작용한다고 합시다. 그러면 $$\delta = \frac{1000 \times 2^{3}}{3 \times 2 \times 10^{11} \times 1 \times 10^{-7}} = \frac{8000}{60000} = 0.1333 \text{ m} \approx 133.3 \text{ mm}$$가 됩니다.
전형적인 영 계수 값
영 계수 \(E\)는 재료의 강성(강축 응력 하에서 탄성 변형에 대한 저항성)을 나타냅니다. 캔틸레버 처짐 공식에서 더 높은 \(E\)는 더 작은 처짐을 만듭니다. 아래의 값들은 공칭 공학 수치이며, 실제 재료 특성은 등급, 온도, 습도 및 하중 방향에 따라 달라집니다(목재 및 복합재료는 강한 비등방성을 띱니다).
| 재료 | \(E\) (GPa) | \(E\) (Pa) |
|---|---|---|
| 구조용 강재 | ~200 | \(2.0\times10^{11}\) |
| 알루미늄 합금 | ~69 | \(6.9\times10^{10}\) |
| 콘크리트(일반 중량) | ~30 | \(3.0\times10^{10}\) |
| 유리 섬유 강화 플라스틱(GRP/유리섬유) | ~17–35 | \(1.7\text{–}3.5\times10^{10}\) |
| 참나무/구조용 목재(결 방향) | ~11 | \(1.1\times10^{10}\) |
주의: 이들은 참고용 공칭 평균값입니다. 설계 작업의 경우, 작업 중인 정확한 재료 등급 및 표준(예: EN, ASTM)에 대해 지정된 계수를 사용하십시오. GPa를 Pa로 변환하려면 \(10^9\)를 곱하십시오(\(1\ \text{GPa} = 10^9\ \text{Pa}\)).
정의 & 용어집
- 점 하중 \(F\) — 단일 지점에서 작용하는 것으로 가정되는 힘이며, 여기서는 캔틸레버의 자유단에서 작용합니다. SI 단위: 뉴턴(N).
- 길이 \(L\) — 고정 지지점에서 하중이 가해지는 지점(자유단)까지 측정된 캔틸레버의 스팬입니다. SI 단위: 미터(m).
- 영 계수 \(E\) — 빔 재료의 탄성(강성) 계수로, 선형 범위에서 축 응력과 축 변형의 비입니다. SI 단위: 파스칼(Pa); 종종 GPa로 표기됩니다.
- 면적 2차 모멘트 \(I\) — 중립축에 대한 굽힘 저항을 설명하는 단면의 기하학적 성질이며, 형태와 치수에만 의존합니다. SI 단위: \(\text{m}^4\).
- 캔틸레버 — 한쪽 끝에서 강성으로 고정되고 다른 쪽 끝에서 지지되지 않는 빔이므로 모든 지지 반력은 고정단에서 발생합니다.
- 처짐 \(\delta\) — 빔의 변형되지 않은 위치로부터의 수직 변위이며, 끝 하중을 받는 캔틸레버의 경우 자유단에서 최대이며 \(FL^3/(3EI)\)와 같습니다. SI 단위: 미터(m).
- 고정(내장) 단 — 병진과 회전 모두에 저항하는 지지부이며, 반력과 반력 모멘트를 제공합니다. 빔의 기울기는 그곳에서 0입니다.
- 자유단 — 캔틸레버의 지지되지 않는 끝으로, 점 하중이 가해지고 처짐이 최대입니다.
- 선형-탄성 가정 — 분석은 재료가 훅의 법칙을 따르고(응력은 변형에 비례), 처짐은 작으며, 언로드 시 빔이 원래 형태로 돌아온다고 가정합니다. 재료가 항복하거나 처짐이 커지면 결과는 유효하지 않습니다.
자주 묻는 질문
단순 지지보(단순보)에도 적용되나요? 아닙니다. 단순보는 다른 계수를 사용합니다(예: 중앙 집중하중의 경우 \(F \cdot L^{3}/48EI\)). 이 계산기는 자유단에 하중이 작용하는 외팔보 전용입니다.
어떤 단위를 써야 하나요? 모든 값을 SI 단위로 통일하세요. 즉 하중은 뉴턴(N), 길이는 미터(m), 탄성계수는 파스칼(Pa), 단면 2차 모멘트는 m⁴입니다. 그러면 결과는 미터(m)로 나오며, mm로도 함께 표시됩니다.
I 값은 어떻게 구하나요? 폭 b, 높이 h인 직사각형 단면은 \(I = b \cdot h^{3}/12\)입니다. 지름 d인 원형 단면은 \(I = \pi \cdot d^{4}/64\)로 계산합니다.
