द्विपद प्रायिकता कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर n स्वतंत्र परीक्षणों में ठीक k सफलताओं की प्रायिकता निकालता है, जहाँ हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता p एक जैसी रहती है। जैसे किसी सिक्के को तय बार उछालना, किसी बैच में खराब वस्तुओं की गिनती करना, या कोई खिलाड़ी कितने फ्री थ्रो डालता है — ये सभी स्थितियाँ द्विपद बंटन (binomial distribution) का पालन करती हैं।

द्विपद वितरण का बार चार्ट जिसमें एक बार उभारी गई है — एक द्विपद वितरण जो हर संभावित सफलताओं की संख्या की प्रायिकता दिखाता है, जिसमें एक परिणाम $P(X=k)$ उभारा गया है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

परीक्षणों की संख्या ($n$), जितनी सफलताओं में आपकी रुचि है उनकी संख्या ($k$), और एक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता ($p$, जो 0 और 1 के बीच होगी) दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको ठीक $P(X = k)$ की प्रायिकता, दोनों संचयी प्रायिकताएँ $P(X \le k)$ और $P(X \ge k)$, साथ ही बंटन का माध्य और मानक विचलन बता देगा।

फॉर्मूला को समझें

द्विपद प्रायिकता का फॉर्मूला इस प्रकार है:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1 - p)^{\,n - k}$$

यहाँ $C(n,k)$ द्विपद गुणांक है (यानी $n$ परीक्षणों में $k$ सफलताओं को व्यवस्थित करने के कुल तरीके), $p^{k}$ उन $k$ सफलताओं की प्रायिकता है, और $(1 - p)^{n - k}$ बची हुई $n - k$ विफलताओं की प्रायिकता है। बंटन का माध्य $n \cdot p$ होता है और मानक विचलन $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ होता है।

द्विपद सूत्र के तीन घटक जुड़े हुए बक्सों के रूप में दिखाए गए — यह सूत्र $k$ सफलताओं को चुनने के तरीकों की संख्या को उन सफलताओं और विफलताओं की प्रायिकता के साथ जोड़ता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए आप एक सही सिक्के को 10 बार उछालते हैं ($n = 10$, $p = 0.5$) और जानना चाहते हैं कि ठीक 3 बार हेड ($k = 3$) आने की प्रायिकता क्या है। $C(10,3) = 120$, इसलिए $$P = 120 \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^7 = 120 \cdot 0.0009765625 = 0.1171875$$ यानी लगभग 11.7%।

अधिक कार्य किए गए उदाहरण

प्रत्येक उदाहरण द्विपद संभावना सूत्र का उपयोग करता है $P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}$, जहाँ $n$ स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या है, $p$ प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की संभावना है, और $k$ ब्याज की सफलताओं की संख्या है।

उदाहरण 1 — त्रुटिपूर्ण वस्तुएँ, P(X ≤ 2)

एक शिपमेंट की त्रुटि दर $p = 0.05$ है। $n = 20$ वस्तुओं के एक यादृच्छिक नमूने में, क्या संभावना है कि अधिकतम 2 त्रुटिपूर्ण हों? हमें $P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)$ की आवश्यकता है।

$P(0) = \binom{20}{0}(0.05)^0(0.95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0.358486 = 0.358486$
$P(1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \cdot 0.05 \cdot 0.377354 = 0.377354$
$P(2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} = 190 \cdot 0.0025 \cdot 0.397214 = 0.188677$

ध्यान दें कि $\binom{20}{2} = 190$ है। तीनों पदों को जोड़ने पर:

$$P(X \le 2) = 0.358486 + 0.377354 + 0.188677 = 0.924516$$

तो 0.188677 की संभावना है कि ठीक 2 त्रुटिपूर्ण हों, और लगभग 92.5% संभावना है कि 2 या उससे कम हों। वितरण का माध्य $\mu = np = 20 \cdot 0.05 = 1$ त्रुटिपूर्ण है और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0.05 \cdot 0.95} = \sqrt{0.95} \approx 0.9747$ है।

उदाहरण 2 — मुक्त थ्रो, P(X ≥ 4)

एक खिलाड़ी $p = 0.8$ की संभावना के साथ मुक्त थ्रो करता है और $n = 5$ शॉट लेता है। कम से कम 4 बनाने की संभावना क्या है? हमें $P(X \ge 4) = P(4) + P(5)$ की आवश्यकता है।

$P(4) = \binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096$
$P(5) = \binom{5}{5}(0.8)^5(0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768$

यहाँ $\binom{5}{4} = 5$ और $\binom{5}{5} = 1$ है। योग करने पर:

$$P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728$$

खिलाड़ी 5 में से कम से कम 4 शॉट लगभग 73.7% समय बनाता है। बनाए गए शॉट की अपेक्षित संख्या $\mu = np = 5 \cdot 0.8 = 4$ है और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{5 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{0.8} \approx 0.8944$ है। सबसे संभावित एकल परिणाम $P(X = 4) = $0.4096 है।

उदाहरण 3 — सर्वेक्षण प्रतिक्रियाएँ, सटीक मान

मान लीजिए 30% लोग $(p = 0.3)$ एक ब्रांड को पहचानते हैं, और आप $n = 10$ का सर्वेक्षण करते हैं। संभावना है कि बिल्कुल 3 इसे पहचानें:

$$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 = 0.266828$$

$\binom{10}{3} = 120$ के साथ, परिणाम $P(X=3) \approx$ 0.266828 है। माध्य $\mu = np = 3$ पहचान है, जो सबसे संभावित गणना से मेल खाता है, और $\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 1.449$ है।

मुख्य शर्तें और चर

प्रतीक / शब्द	अर्थ
$n$ — परीक्षणों की संख्या	प्रयोग की निश्चित कुल संख्या स्वतंत्र दोहराव (उदाहरण के लिए निरीक्षण की गई वस्तुएँ, लिए गए शॉट)। एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
$k$ — सफलताओं की संख्या	सफल परिणामों की विशिष्ट गणना जिसकी संभावना आप चाहते हैं, $0 \le k \le n$ के साथ।
$p$ — सफलता की संभावना	किसी भी एकल परीक्षण पर सफलता की संभावना, प्रत्येक परीक्षण के लिए समान। 0 और 1 के बीच एक मान।
$q = 1 - p$ — विफलता की संभावना	एकल परीक्षण पर विफलता की संभावना। चूंकि प्रत्येक परीक्षण सफलता या विफलता है, $p + q = 1$।
$\binom{n}{k}$ — द्विपद गुणांक	$n$ परीक्षणों में $k$ सफलताओं को चुनने के विभिन्न तरीकों की संख्या, जिसे "n चुनो k" पढ़ा जाता है: $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$।
$P(X = k)$ — सटीक संभावना	बिल्कुल $k$ सफलताएँ प्राप्त करने की संभावना: $\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}$।
$P(X \le k)$ — संचयी (अधिकतम)	$k$ या उससे कम सफलताओं की संभावना, योग $P(0) + P(1) + \dots + P(k)$।
$P(X \ge k)$ — संचयी (कम से कम)	$k$ या अधिक सफलताओं की संभावना, $1 - P(X \le k-1)$ के बराबर।
$\mu = np$ — माध्य	$n$-परीक्षण प्रयोग के कई दोहरावों पर सफलताओं की अपेक्षित (औसत) संख्या।
$\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ — मानक विचलन	यह मापता है कि सफलताओं की संख्या माध्य के चारों ओर कितनी विशिष्ट रूप से भिन्न होती है।

अपने परिणाम की व्याख्या करना

द्विपद कैलकुलेटर तीन संबंधित लेकिन अलग प्रश्नों का उत्तर दे सकता है, और आउटपुट को उस प्रश्न से मेल खाना महत्वपूर्ण है जो आपने वास्तव में पूछा है।

सटीक संभावना, $P(X = k)$: बिल्कुल $k$ सफलताएँ प्राप्त करने का मौका — न अधिक, न कम। "3 त्रुटियों की संभावना क्या है?" जैसे प्रश्नों के लिए इसका उपयोग करें। क्योंकि यह एक एकल परिणाम तक सीमित है, यह मान आमतौर पर नीचे दी गई संचयी संभावनाओं से छोटा होता है।
अधिकतम, $P(X \le k)$: $k$ या उससे कम सफलताओं का मौका। यह 0, 1, …, k की संभावनाओं को जोड़ता है। "अधिक नहीं", "अधिकतम", या "कम से कम या बराबर" शब्दांश के लिए इसका उपयोग करें।
कम से कम, $P(X \ge k)$: $k$ या अधिक सफलताओं का मौका। एक सुविधाजनक शॉर्टकट $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$ है। "कम से कम", "कोई कम नहीं", या "न्यूनतम" शब्दांश के लिए इसका उपयोग करें।

सीमा पर ध्यान दें: "$k$ से अधिक" का अर्थ $P(X \ge k+1)$ है, और "$k$ से कम" का अर्थ $P(X \le k-1)$ है। एक ही शब्द कौन से पद योग किए जाते हैं इसे बदल देता है।

माध्य $\mu = np$ सफलताओं की अपेक्षित संख्या है — यदि आप पूरे $n$-परीक्षण प्रयोग को कई बार दोहराते हैं तो दीर्घावधि औसत गणना। $n = 20$ वस्तुओं के लिए $p = 0.05$ पर, आप औसतन $\mu = 1$ त्रुटि की उम्मीद करेंगे, भले ही कोई भी एकल नमूना 0, 1, 2 या अधिक हो सकता है। माध्य सबसे संभावित एकल परिणाम के पास भी है, इसलिए अपने $k$ की $np$ से तुलना करना बताता है कि क्या आप एक विशिष्ट परिणाम या एक असामान्य परिणाम के बारे में पूछ रहे हैं।

मानक विचलन $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ माध्य के चारों ओर परिणामों के प्रसार का वर्णन करता है। अधिकांश परिणाम $np$ के लगभग एक से दो मानक विचलनों के भीतर आते हैं। जब $k$ माध्य से कई मानक विचलन दूर हो, तो संबंधित संभावना छोटी होती है, जो बिल्कुल वही है जिसके कारण "पूंछ" की घटनाएँ आश्चर्यजनक लगती हैं। जब $n$ बड़ा है और $p$ 0 या 1 के बहुत करीब नहीं है, द्विपद वितरण इसी माध्य और मानक विचलन के साथ लगभग सामान्य है, संचयी संभावनाओं के लिए एक सामान्य-वक्र सन्निकटन की अनुमति देता है।

यह आउटपुट पढ़ने में आपकी सहायता के लिए सामान्य सांख्यिकीय जानकारी है; परिणाम पर निर्भर करने से पहले हमेशा पुष्टि करें कि आपका परिदृश्य द्विपद मान्यताओं को पूरा करता है (परीक्षणों की एक निश्चित संख्या, प्रत्येक परीक्षण के लिए दो परिणाम, और एक स्थिर सफलता संभावना)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

द्विपद बंटन का इस्तेमाल कब किया जा सकता है? जब आपके पास परीक्षणों की एक तय संख्या हो, हर परीक्षण स्वतंत्र हो, उसके केवल दो ही परिणाम हों (सफलता/विफलता) और सफलता की प्रायिकता हर बार स्थिर रहे।

$P(X \ge k)$ का क्या मतलब है? यह कम से कम $k$ सफलताएँ मिलने की प्रायिकता है — "k या उससे ज़्यादा" वाले सवालों के लिए उपयोगी।

क्या $p$ का मान 1 से ज़्यादा हो सकता है? नहीं। प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होनी चाहिए; इस सीमा से बाहर के मान अपने-आप इसी दायरे में समायोजित कर दिए जाते हैं।

द्विपद गुणांक C(n,k)	120
P(X ≤ k) संचयी	0.649611
P(X ≥ k) संचयी	0.617217
माध्य (n·p)	3
मानक विचलन	1.4491

प्रतीक / शब्द	अर्थ
\(n\) — परीक्षणों की संख्या	प्रयोग की निश्चित कुल संख्या स्वतंत्र दोहराव (उदाहरण के लिए निरीक्षण की गई वस्तुएँ, लिए गए शॉट)। एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
\(k\) — सफलताओं की संख्या	सफल परिणामों की विशिष्ट गणना जिसकी संभावना आप चाहते हैं, \(0 \le k \le n\) के साथ।
\(p\) — सफलता की संभावना	किसी भी एकल परीक्षण पर सफलता की संभावना, प्रत्येक परीक्षण के लिए समान। 0 और 1 के बीच एक मान।
\(q = 1 - p\) — विफलता की संभावना	एकल परीक्षण पर विफलता की संभावना। चूंकि प्रत्येक परीक्षण सफलता या विफलता है, \(p + q = 1\)।
\(\binom{n}{k}\) — द्विपद गुणांक	\(n\) परीक्षणों में \(k\) सफलताओं को चुनने के विभिन्न तरीकों की संख्या, जिसे "n चुनो k" पढ़ा जाता है: \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)।
\(P(X = k)\) — सटीक संभावना	बिल्कुल \(k\) सफलताएँ प्राप्त करने की संभावना: \(\binom{n}{k} p^{k} q^{\,n-k}\)।
\(P(X \le k)\) — संचयी (अधिकतम)	\(k\) या उससे कम सफलताओं की संभावना, योग \(P(0) + P(1) + \dots + P(k)\)।
\(P(X \ge k)\) — संचयी (कम से कम)	\(k\) या अधिक सफलताओं की संभावना, \(1 - P(X \le k-1)\) के बराबर।
\(\mu = np\) — माध्य	\(n\)-परीक्षण प्रयोग के कई दोहरावों पर सफलताओं की अपेक्षित (औसत) संख्या।
\(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) — मानक विचलन	यह मापता है कि सफलताओं की संख्या माध्य के चारों ओर कितनी विशिष्ट रूप से भिन्न होती है।

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