이 계산기로 할 수 있는 것
이 도구는 이등변삼각형의 밑변 길이와 길이가 같은 두 변의 길이를 알 때 넓이를 구해 줍니다. 여기에 더해 밑변에서 꼭짓점까지 잰 높이와 삼각형의 둘레까지 함께 알려 주므로, 단 두 개의 측정값만으로 삼각형의 전체 모습을 한눈에 파악할 수 있습니다.
사용 방법
밑변 길이(b)와 같은 두 변 중 한 변의 길이(a)를 동일한 단위로 입력하세요. 계산기는 곧바로 넓이(제곱 단위), 높이(길이 단위), 둘레를 출력합니다. 단, 길이가 같은 두 변은 각각 밑변의 절반보다 길어야 합니다. 그렇지 않으면 삼각형이 성립하지 않습니다.
공식 풀이
이등변삼각형은 길이가 \(a\)로 같은 두 변과 길이가 \(b\)인 밑변으로 이루어집니다. 꼭짓점에서 밑변으로 수선을 내리면 삼각형이 두 개의 직각삼각형으로 나뉘는데, 각 직각삼각형의 빗변은 \(a\), 밑변은 \(b/2\)가 됩니다. 따라서 높이는 \(h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \frac{\sqrt{4a^2 - b^2}}{2}\) 입니다. 넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이며, 이를 정리하면 다음과 같습니다.
$$A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$$
예제로 살펴보기
밑변이 6이고 같은 두 변이 각각 5라고 가정해 봅시다. 그러면 \(4a^2 - b^2 = 4 \cdot 25 - 36 = 100 - 36 = 64\)가 됩니다. 64의 제곱근은 8이므로 넓이는 \((6/4) \cdot 8 = 1.5 \cdot 8 = 12\)제곱 단위입니다. 높이는 \(8/2 = 4\), 둘레는 \(6 + 2 \cdot 5 = 16\)이 됩니다.
다양한 이등변삼각형의 넓이
이등변삼각형은 밑변 \(b\)와 두 개의 같은 변 \(a\)를 가집니다. 꼭짓점에서 밑변으로 수선을 내리면 삼각형이 두 개의 합동인 직각삼각형으로 나뉘며, 각각 빗변이 \(a\)이고 수평 다리가 \(b/2\)입니다. 따라서 높이는
$$h = \sqrt{a^{2} - \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}$$그리고 넓이는 다음과 같이 직접 나옵니다:
$$A = \frac{b}{4}\sqrt{4a^{2} - b^{2}}, \qquad P = 2a + b.$$아래 표는 이 정확한 공식들을 여러 밑변/변의 쌍에 적용합니다. 각 행은 삼각형이 실제로 닫힐 수 있도록 \(a > b/2\)를 요구합니다.
| 밑변 (b) | 변 (a) | 높이 (h) | 넓이 (A) | 둘레 (P) |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 5 | 4 | 12 | 16 |
| 8 | 5 | 3 | 12 | 18 |
| 10 | 13 | 12 | 60 | 36 |
| 4 | 4 | ≈ 3.464 | ≈ 6.928 | 12 |
마지막 행 (b=4, a=4)은 또한 정삼각형이므로, 높이는 \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4 \approx 3.464\)이고 넓이는 약 6.928의 정삼각형 값과 일치합니다.
자주 묻는 질문
변의 길이가 너무 짧으면 어떻게 되나요? \(4a^2 - b^2\)이 0이거나 음수이면 두 변이 밑변 위에서 만날 수 없으므로 삼각형이 성립하지 않으며, 넓이는 0으로 표시됩니다.
같은 변으로는 어느 길이를 입력하나요? 길이가 같은 두 변(다리) 중 한 변의 길이를 입력하면 됩니다. 이등변삼각형에서 두 다리의 길이는 서로 같습니다.
결과는 어떤 단위로 나오나요? 넓이는 입력한 단위의 제곱 단위로 표시되고, 높이와 둘레는 입력한 것과 동일한 길이 단위로 표시됩니다.
