등차수열 계산기로 무엇을 할 수 있나요
등차수열이란 각 항이 일정한 값만큼 커지거나 작아지는 수의 나열을 말하며, 이때 일정하게 더해지는 값을 공차라고 합니다. 이 계산기는 세 가지 값만 입력하면 마지막 항과 전체 항의 합을 즉시 계산해 주고, 수열 전체를 색상으로 구분된 그래프로 보여 줘서 변화 흐름을 한눈에 파악할 수 있습니다.
입력해야 하는 값
- 첫째항(\(a_1\)): 수열이 시작하는 값입니다.
- 공차(\(d\)): 한 항에서 다음 항으로 넘어갈 때 더해지는 값입니다. 양수이면 수열이 점점 커지고, 음수이면 점점 작아집니다.
- 항수(\(n\)): 생성하고 나열한 뒤 합을 구할 항의 개수입니다.
사용하는 공식
이 계산기는 등차수열에서 가장 기본이 되는 두 가지 공식을 사용합니다.
- 제n항(마지막 항): $$a_n = a_1 + (n - 1) \times d$$
- n개 항의 합: $$S_n = \frac{n}{2} \times \left(2a_1 + (n - 1) \times d\right)$$
또한 \(a_1\)부터 \(a_n\)까지 모든 항을 하나하나 계산해 보여 줍니다. 시각화 화면에서는 각 항이 초록색에서 빨간색으로 이어지는 그라데이션으로 표시되고 크기도 조금씩 달라집니다. 가장 작은 값은 초록색에 작게, 가장 큰 값은 빨간색에 크게 나타나므로 수열의 증감 추세를 쉽게 따라갈 수 있습니다.
계산 예시
첫째항 = 3, 공차 = 5, 항수 = 6을 입력했다고 가정해 보겠습니다.
- 마지막 항: $$a_6 = 3 + (6 - 1) \times 5 = 3 + 25 = \mathbf{28}$$
- 합: $$S_6 = \frac{6}{2} \times \left(2 \times 3 + (6 - 1) \times 5\right) = 3 \times (6 + 25) = 3 \times 31 = \mathbf{93}$$
- 수열: \(3, 8, 13, 18, 23, 28\)
계산기는 마지막 항으로 28을, 합으로 93을 반환하고, 여섯 개의 항을 색상 그라데이션과 함께 보여 줍니다.
다양한 수열 입력값 비교
등차수열은 세 가지 입력값으로 정의됩니다: 첫째항 \(a_1\), 공차 \(d\), 항의 개수 \(n\). 이 값들로부터 마지막(n번째) 항과 모든 항의 합을 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
$$a_n = a_1 + (n-1)\,d \qquad S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n)$$
아래 표는 여러 현실적인 입력값 세트에서 마지막 항과 합이 어떻게 변하는지 보여줍니다. 음수 공차는 감소하는 수열을 만들고, 분수 공차는 정수가 아닌 항들을 생성함을 주목하십시오.
| 첫째항 \(a_1\) | 공차 \(d\) | 항의 개수 \(n\) | 마지막 항 \(a_n\) | 합 \(S_n\) |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 | 14 | 40 |
| 10 | -2 | 8 | -4 | 24 |
| 1 | 0.5 | 10 | 5.5 | 32.5 |
| 5 | 5 | 20 | 100 | 1050 |
| 100 | -10 | 11 | 0 | 550 |
| 0 | 1 | 100 | 99 | 4950 |
예를 들어, 마지막 행은 정수 \(0+1+2+\cdots+99\)의 합입니다. \(S_n = \tfrac{n}{2}(a_1 + a_n) = \tfrac{100}{2}(0 + 99) = 4950\)을 사용하면 됩니다. 같은 합을 등차급수 공식으로 확인할 수 있고, 동일하게 합 \(\sum_{i=1}^{100}(i-1)\)로도 계산할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
공차를 음수나 소수로 입력해도 되나요? 됩니다. 입력값은 소수로 처리되므로 공차가 −2이면 점점 작아지는 수열이 만들어지고, 0.5이면 0.5씩 증가하는 수열이 됩니다. 단, 항수는 반드시 자연수여야 합니다.
항수에 1을 입력하면 어떻게 되나요? 수열에는 첫째항 하나만 포함되며, 마지막 항은 첫째항과 같아지고, 합도 그 값이 됩니다.
등차급수도 계산할 수 있나요? 네. '합' 결과값이 바로 등차급수의 값(모든 항을 더한 총합)이며, 위의 \(S_n\) 공식으로 계산됩니다.
