이항분포 확률이란?
이항분포 확률은 동일한 조건에서 n번 독립적으로 시행할 때, 각 시행의 성공 확률이 모두 p로 같다는 가정 아래 정확히 k번 성공할 가능성을 알려줍니다. 동전 던지기, 자유투 성공 여부, 생산 라인의 불량품 발생, 설문 응답처럼 같은 조건에서 반복되는 모든 '예/아니오' 형태의 실험에 적용할 수 있습니다.
계산기 사용 방법
시행 횟수(\(n\)), 확률을 구하고 싶은 성공 횟수(\(k\)), 그리고 한 번 시행할 때의 성공 확률(\(p\))을 0과 1 사이의 소수로 입력하세요. 그러면 계산기가 정확한 확률 \(P(X=k)\)와 같은 값을 백분율로 나타낸 수치, 그리고 계산에 사용된 이항계수 \(C(n,k)\)를 함께 보여줍니다.
공식 풀이
공식 $$P(X=k) = \binom{n}{k} \, p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k}$$은 세 부분으로 이루어집니다. \(C(n,k)\)는 n번의 시행 중에서 k번의 성공이 일어나는 서로 다른 경우의 수가 몇 가지인지를 세어 줍니다. \(p^{k}\)는 그 k번의 성공이 실제로 일어날 확률이고, \((1-p)^{n-k}\)는 나머지 n−k번의 시행이 모두 실패할 확률입니다. 이 셋을 곱하면 해당 성공 횟수가 정확히 나올 전체 확률이 됩니다.
풀이 예제
공정한 동전을 10번 던진다고 합시다(\(n=10\), \(p=0.5\)). 정확히 앞면이 4번 나올 확률(\(k=4\))은 얼마일까요? \(C(10,4) = 210\)이므로 $$P = 210 \times 0.5^{4} \times 0.5^{6} = 210 \times 0.5^{10} = \frac{210}{1024} \approx 0.2051$$ 즉 약 20.51%입니다.
이항 확률을 손으로 계산하는 방법
다음 단계를 따라 \(P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}\)를 유효한 입력값으로 계산합니다.
- \(k \le n\)임을 확인합니다. 성공 횟수 \(k\)는 시행 횟수 \(n\)을 초과할 수 없으며, 둘 다 음이 아닌 정수여야 합니다. \(k > n\)이면 확률은 0입니다. 또한 \(0 \le p \le 1\)임을 확인합니다.
- 이항 계수 \(\binom{n}{k}\)를 계산합니다. \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)를 사용합니다. 이는 \(n\)번의 시행 중에서 \(k\)번의 성공을 배열하는 서로 다른 방법의 수를 나타냅니다.
- \(p\)를 \(k\)제곱으로 올립니다. \(p^{k}\)를 계산합니다. 이는 특정 \(k\)번의 성공이 일어날 확률입니다.
- \((1-p)\)를 \(n-k\)제곱으로 올립니다. \((1-p)^{n-k}\)를 계산합니다. 이는 남은 \(n-k\)번의 시행이 모두 실패할 확률입니다. \(q = 1-p\)임을 기억하십시오.
- 세 인수를 모두 곱합니다. \(P(X=k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1-p)^{n-k}\). 결과는 0과 1 사이의 확률입니다.
- 백분율로 변환합니다(선택 사항). 확률에 100을 곱하여 백분율로 나타냅니다. 예: \(0.31146 \times 100 = 31.15\%\).
검증된 예: \(n=5,\,k=3,\,p=0.5\): \(\binom{5}{3}=10\), \(0.5^{3}=0.125\), \(0.5^{2}=0.25\)이므로 \(P = 10 \times 0.125 \times 0.25 = \) 0.3125 (31.25%).
주요 용어 및 변수
| 기호 | 이름 | 의미 |
|---|---|---|
| \(n\) | 시행 횟수 | 독립적인 실험 또는 시도의 고정된 총 횟수입니다. |
| \(k\) | 성공 횟수 | 확률을 구하려는 성공 결과의 정확한 횟수이며, \(0 \le k \le n\)을 만족해야 합니다. |
| \(p\) | 성공 확률 | 단일 시행이 성공할 확률이며, \(0 \le p \le 1\)입니다. |
| \(q\) | 실패 확률 | 단일 시행에서 실패할 확률이며, \(q = 1 - p\)입니다. |
| \(\binom{n}{k}\) | 이항 계수 | \(n\)번의 시행 중에서 \(k\)번의 성공을 선택하는 방법의 수이며, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)입니다. "엔 택 케이"로 읽습니다. |
네 가지 이항 가정
이항 모형이 유효하려면 네 가지 조건이 모두 충족되어야 합니다:
- 고정된 시행 횟수. \(n\)의 값은 미리 정해지며 변하지 않습니다.
- 두 가지 가능한 결과. 각 시행은 "성공"과 "실패"로 전통적으로 표시되는 정확히 두 가지 결과 중 하나를 나타냅니다.
- 일정한 확률. 성공 확률 \(p\)는 모든 시행에서 동일합니다.
- 독립적 시행. 어떤 시행의 결과도 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않습니다.
이러한 조건이 성립하면, 성공 횟수 \(X\)는 이항 분포를 따르며, \(X \sim \text{B}(n, p)\)로 표기합니다.
자주 묻는 질문
p는 소수로 입력하나요, 백분율로 입력하나요? 소수로 입력하세요. 예를 들어 25%의 확률은 0.25로 적습니다.
k가 n보다 크면 어떻게 되나요? 시행 횟수보다 성공 횟수가 많을 수는 없으므로 불가능한 경우이며, 따라서 확률은 0입니다.
P(X ≤ k)나 P(X ≥ k)는 어떻게 구하나요? 이 도구는 정확한 값에 대한 확률을 계산합니다. 누적 확률이 필요하다면 해당 구간에 속하는 i 값들에 대해 \(P(X=i)\)를 모두 더하면 됩니다.
