Калькулятор точечной оценки

Введите расчет

Успехи (x)

Испытания (n)

Математическая формула

Show calculation steps (3)

1. Laplace Estimate

   

   Laplace (add-one) = (x + 1) / (n + 2)

2. Jeffreys Estimate

   

   Jeffreys = (x + 0.5) / (n + 1)

3. Wilson Estimate

   

   Wilson point with z = 1.96; numerator x + z^2/2, denominator n + z^2

Результатов

Точечная оценка (MLE)

0,8

выборочная доля p̂ = x/n

Метод оценки	Оценка
MLE (x/n)	0,8
Лаплас (x+1)/(n+2)	0,75
Джеффрис (x+0,5)/(n+1)	0,7727
Уилсон (z=1,96)	0,7167

Что такое калькулятор точечной оценки?

Точечная оценка — это одно конкретное значение, которое мы принимаем за наилучшее приближение неизвестного параметра генеральной совокупности; в нашем случае это доля. По x успехам из n испытаний калькулятор выдаёт сразу несколько распространённых точечных оценок истинной доли p. Самая известная из них — оценка максимального правдоподобия (MLE), то есть просто \(x/n\). Однако для малых выборок или крайних значений (когда успехов 0 или ровно n) удобнее использовать сглаженные оценки: Лапласа, Джеффриса и оценку Уилсона.

Как пользоваться калькулятором

Введите число успехов (x) и общее число испытаний (n). Калькулятор мгновенно покажет «сырую» выборочную долю и три скорректированные оценки. Для больших и «спокойных» выборок берите MLE; если же n мало или x близко к 0 либо к n, отдавайте предпочтение Лапласу или Уилсону — эти методы не дают строго 0 или 1.

Разбор формул

MLE: $$\hat{p} = \frac{x}{n}$$ Лаплас («добавь единицу»): $$\frac{x + 1}{n + 2}$$ Джеффрис: $$\frac{x + 0{,}5}{n + 1}$$ Точечная оценка Уилсона: $$\frac{x + z^{2}/2}{n + z^{2}}$$ — это центр доверительного интервала Уилсона, где \(z = 1{,}96\) для уровня доверия 95%. Каждое сглаживающее слагаемое мягко притягивает оценку к 0,5, снижая смещение и дисперсию на малых выборках.

Реклама

Каждая из четырёх оценок добавляет свои поправочные слагаемые к успехам (x) и попыткам (n).

Пример расчёта

Допустим, из 10 испытаний успешными оказались 8. Тогда $$\text{MLE} = \frac{8}{10} = 0{,}8$$ $$\text{Лаплас} = \frac{8+1}{10+2} = \frac{9}{12} = 0{,}75$$ $$\text{Джеффрис} = \frac{8+0{,}5}{10+1} = \frac{8{,}5}{11} \approx 0{,}7727$$ Уилсон при \(z^{2}=3{,}8416\): $$\frac{8 + 1{,}9208}{10 + 3{,}8416} = \frac{9{,}9208}{13{,}8416} \approx 0{,}7168$$ Как видим, сглаженные оценки сдвигают «сырое» значение 0,8 ближе к центру.

Каждый метод располагает оценку немного по-разному на шкале от 0 до 1.

Частые вопросы

Какую оценку указывать в отчёте? В большинстве случаев стандартом служит MLE (выборочная доля). Для небольших выборок или редких событий надёжнее Лаплас или Уилсон.

Почему в формуле Уилсона есть z? Точечная оценка Уилсона — это середина доверительного интервала Уилсона, которая зависит от значения z для выбранного уровня доверия (1,96 ≈ 95%).

Что делать, если x = 0 или x = n? MLE даст 0 или 1, что зачастую неправдоподобно; сглаженные оценки возвращают значения строго между 0 и 1.