Công cụ tính ước lượng điểm là gì?
Ước lượng điểm là một giá trị "đoán tốt nhất" duy nhất cho một tham số chưa biết của tổng thể — ở đây là một tỷ lệ. Với x lần thành công trong n lần thử, công cụ này trả về một số ước lượng điểm phổ biến cho tỷ lệ thực p. Quen thuộc nhất là Ước lượng hợp lý cực đại (MLE), đơn giản là \(x/n\), nhưng với mẫu nhỏ hoặc số đếm cực đoan (0 hoặc n lần thành công) thì các ước lượng được làm trơn như Laplace, Jeffreys và ước lượng hiệu chỉnh Wilson sẽ cho kết quả tốt hơn.
Cách sử dụng
Nhập số lần thành công (x) và tổng số lần thử (n). Công cụ sẽ lập tức hiển thị tỷ lệ mẫu thô cùng với ba ước lượng đã hiệu chỉnh. Hãy dùng MLE cho các mẫu lớn và ổn định; ưu tiên Laplace hoặc Wilson khi n nhỏ hoặc x gần 0 hay gần n, vì những phương pháp này tránh trả về đúng bằng 0 hoặc 1.
Giải thích các công thức
MLE: $$\hat{p} = \frac{x}{n}$$ Laplace ("cộng một"): $$\frac{x + 1}{n + 2}$$ Jeffreys: $$\frac{x + 0{,}5}{n + 1}$$ Ước lượng điểm Wilson: $$\frac{x + z^{2}/2}{n + z^{2}}$$ chính là tâm của khoảng tin cậy Wilson, với \(z = 1{,}96\) cho mức tin cậy 95%. Mỗi thành phần làm trơn sẽ kéo nhẹ ước lượng về phía 0,5, giúp giảm độ chệch và phương sai đối với các mẫu nhỏ.
Ví dụ minh họa
Giả sử có 8 trong 10 lần thử thành công. $$\text{MLE} = \frac{8}{10} = 0{,}8$$ $$\text{Laplace} = \frac{8+1}{10+2} = \frac{9}{12} = 0{,}75$$ $$\text{Jeffreys} = \frac{8+0{,}5}{10+1} = \frac{8{,}5}{11} \approx 0{,}7727$$ Wilson với \(z^{2}=3{,}8416\): $$\frac{8 + 1{,}9208}{10 + 3{,}8416} = \frac{9{,}9208}{13{,}8416} \approx 0{,}7168$$ Các ước lượng được làm trơn đã kéo giá trị thô 0,8 về phía giữa.
Câu hỏi thường gặp
Nên báo cáo ước lượng nào? Trong hầu hết trường hợp, MLE (tỷ lệ mẫu) là tiêu chuẩn. Với mẫu nhỏ hoặc sự kiện hiếm gặp, Laplace hoặc Wilson đáng tin cậy hơn.
Vì sao Wilson dùng z? Ước lượng điểm Wilson là điểm giữa của khoảng tin cậy Wilson, phụ thuộc vào giá trị z ứng với mức tin cậy bạn chọn (1,96 ≈ 95%).
Nếu x = 0 hoặc x = n thì sao? MLE sẽ cho 0 hoặc 1, điều này thường khó hợp lý; các ước lượng được làm trơn luôn trả về giá trị nằm hẳn trong khoảng từ 0 đến 1.
