حاسبة التقدير النقطي

أدخل الحساب

عدد النجاحات (x)

عدد المحاولات (n)

صيغة رياضية

Show calculation steps (3)

1. Laplace Estimate

   

   Laplace (add-one) = (x + 1) / (n + 2)

2. Jeffreys Estimate

   

   Jeffreys = (x + 0.5) / (n + 1)

3. Wilson Estimate

   

   Wilson point with z = 1.96; numerator x + z^2/2, denominator n + z^2

نتائج

التقدير النقطي (MLE)

٠٫٨

نسبة العينة p̂ = x/n

المقدّر	التقدير
MLE ‏(x/n)	٠٫٨
لابلاس ‏(x+1)/(n+2)	٠٫٧٥
جيفريز ‏(x+0.5)/(n+1)	٠٫٧٧٢٧
ويلسون ‏(z=1.96)	٠٫٧١٦٧

ما هي حاسبة التقدير النقطي؟

التقدير النقطي هو قيمة واحدة تمثّل أفضل تخمين لمعلمة مجهولة في المجتمع — وهي هنا نسبة (proportion). فعند وجود x نجاحًا من أصل n محاولة، تعطيك هذه الحاسبة عدة تقديرات نقطية شائعة للنسبة الحقيقية p. وأشهرها تقدير الإمكان الأعظم (MLE) وهو ببساطة \(x/n\)، لكن العينات الصغيرة أو القيم الطرفية (صفر نجاحات أو n نجاحًا) تستفيد من المقدّرات المُنعّمة مثل لابلاس وجيفريز وتقدير ويلسون المعدّل.

كيفية الاستخدام

أدخل عدد النجاحات (x) والعدد الإجمالي للمحاولات (n). تعرض الحاسبة فورًا النسبة الخام للعينة إضافة إلى ثلاثة تقديرات مُصحّحة. استخدم تقدير MLE مع العينات الكبيرة والمتزنة، وفضّل لابلاس أو ويلسون عندما يكون n صغيرًا أو عندما تقترب قيمة x من الصفر أو من n، لأن هذه الطرق تتجنّب إعطاء قيمة 0 أو 1 بالضبط.

شرح الصيغ

تقدير الإمكان الأعظم: $$\hat{p}_{\text{MLE}} = \frac{\text{Successes }(x)}{\text{Trials }(n)}$$ لابلاس («إضافة واحد»): $$\hat{p}_{\text{Laplace}} = \frac{\text{Successes }(x) + 1}{\text{Trials }(n) + 2}$$ جيفريز: $$\hat{p}_{\text{Jeffreys}} = \frac{\text{Successes }(x) + 0.5}{\text{Trials }(n) + 1}$$ تقدير ويلسون النقطي: $$\hat{p}_{\text{Wilson}} = \frac{\text{Successes }(x) + \frac{z^{2}}{2}}{\text{Trials }(n) + z^{2}}, \quad z = 1.96$$ وهو مركز فترة درجة ويلسون، حيث \(z = 1.96\) لمستوى ثقة 95%. كل حد تنعيم يدفع التقدير بلطف نحو 0.5، مما يقلّل التحيّز والتباين في العينات الصغيرة.

اعلان

تضيف المُقدِّرات الأربعة كلٌّ منها حدود تصحيح مختلفة إلى النجاحات (x) والمحاولات (n).

مثال محلول

لنفترض نجاح 8 من أصل 10 محاولات. تقدير MLE = \(8/10 = 0.8\). لابلاس = \((8+1)/(10+2) = 9/12 = 0.75\). جيفريز = \((8+0.5)/(10+1) = 8.5/11 \approx 0.7727\). وويلسون مع \(z^2=3.8416\): \((8 + 1.9208)/(10 + 3.8416) = 9.9208/13.8416 \approx 0.7168\). كما ترى، تسحب التقديرات المُنعّمة القيمة الخام 0.8 نحو المنتصف.

تضع كل طريقة التقدير في موضع مختلف قليلاً على مقياس من 0 إلى 1.

الأسئلة الشائعة

أي تقدير ينبغي أن أعتمده؟ في معظم الحالات، يُعدّ تقدير MLE (نسبة العينة) هو المعيار المتعارف عليه. أما مع العينات الصغيرة أو الأحداث النادرة، فإن لابلاس أو ويلسون أكثر موثوقية.

لماذا يستخدم ويلسون قيمة z؟ لأن تقدير ويلسون النقطي هو منتصف فترة ثقة درجة ويلسون، التي تعتمد على قيمة z المرتبطة بمستوى الثقة المختار (1.96 ≈ 95%).

ماذا لو كان x = 0 أو x = n؟ يعطي تقدير MLE حينها قيمة 0 أو 1، وهو أمر غير منطقي غالبًا؛ بينما تعطي المقدّرات المُنعّمة قيمًا تقع حصرًا بين 0 و1.