什麼是點估計計算器？
所謂「點估計」，就是用單一數值來最佳猜測未知的母體參數，這裡指的是「比例」。當你在 n 次試驗中觀察到 x 次成功時，這個計算器會幫你算出幾種常見的母體比例 p 點估計值。最為人熟知的是最大概似估計（MLE），也就是 \(x/n\)；但在樣本數很少、或成功次數落在極端值（0 次或 n 次）時，改用 Laplace、Jeffreys 與 Wilson 等「平滑化」估計式，往往更為穩健。
使用方式
輸入成功次數（x）與試驗總次數（n），計算器會立即顯示原始樣本比例，外加三種修正後的估計值。樣本數大、資料表現正常時，採用 MLE 即可；當 n 偏小，或 x 接近 0 或接近 n 時，建議改用 Laplace 或 Wilson，因為它們不會傳回剛好等於 0 或 1 的結果。
公式解析
MLE：$$\hat{p}_{\text{MLE}} = \frac{\text{Successes }(x)}{\text{Trials }(n)}$$Laplace（加一法）：$$\hat{p}_{\text{Laplace}} = \frac{\text{Successes }(x) + 1}{\text{Trials }(n) + 2}$$Jeffreys：$$\hat{p}_{\text{Jeffreys}} = \frac{\text{Successes }(x) + 0.5}{\text{Trials }(n) + 1}$$Wilson 點估計：$$\hat{p}_{\text{Wilson}} = \frac{\text{Successes }(x) + \frac{z^{2}}{2}}{\text{Trials }(n) + z^{2}}, \quad z = 1.96$$這是 Wilson 分數信賴區間的中心點，95% 信賴水準時 \(z = 1.96\)。每一個平滑項都會把估計值溫和地往 0.5 拉，藉此降低小樣本的偏誤與變異。
實例演算
假設 10 次試驗中有 8 次成功。$$\text{MLE} = 8/10 = 0.8$$$$\text{Laplace} = (8+1)/(10+2) = 9/12 = 0.75$$$$\text{Jeffreys} = (8+0.5)/(10+1) = 8.5/11 \approx 0.7727$$Wilson 取 \(z^{2}=3.8416\)：$$(8 + 1.9208)/(10 + 3.8416) = 9.9208/13.8416 \approx 0.7168$$可以看到，平滑化後的估計值都把原始的 0.8 往中央方向拉近了一些。
常見問題
我該報告哪一個估計值？一般報告以 MLE（樣本比例）為標準做法。若樣本數少、或遇到罕見事件，Laplace 或 Wilson 會更可靠。
Wilson 為什麼會用到 z？Wilson 點估計是 Wilson 分數信賴區間的中點，而這個區間取決於你所選信賴水準對應的 \(z\) 值（1.96 約對應 95%）。
如果 x = 0 或 x = n 怎麼辦？此時 MLE 會給出 0 或 1，這在現實中往往不合理；而平滑化估計式則會回傳嚴格介於 0 與 1 之間的數值。
