点推定計算ツールとは？
点推定とは、未知の母集団パラメータ（ここでは母比率）に対する「最もそれらしい1つの値」を求めることです。n 回の試行のうち x 回が成功したとき、この計算ツールは真の比率 p に対する代表的な点推定値をまとめて算出します。最もよく知られているのは最尤推定値（MLE）で、単純に \(x/n\) です。ただしサンプルサイズが小さい場合や、成功回数が極端（0 回または n 回）な場合には、ラプラス・ジェフリーズ・ウィルソン補正といった平滑化された推定量が有効です。
使い方
成功回数（x）と試行回数の合計（n）を入力します。すると、生のサンプル比率に加えて、3 種類の補正済み推定値が即座に表示されます。サンプルサイズが大きく安定している場合は MLE を、n が小さい場合や x が 0 または n に近い場合はラプラスやウィルソンを使うとよいでしょう。これらの手法は推定値がちょうど 0 や 1 になるのを避けられるためです。
各計算式の解説
MLE：$$\hat{p}_{\text{MLE}} = \frac{\text{Successes }(x)}{\text{Trials }(n)}$$ ラプラス（「+1」補正）：$$\hat{p}_{\text{Laplace}} = \frac{\text{Successes }(x) + 1}{\text{Trials }(n) + 2}$$ ジェフリーズ：$$\hat{p}_{\text{Jeffreys}} = \frac{\text{Successes }(x) + 0.5}{\text{Trials }(n) + 1}$$ ウィルソンの点推定：$$\hat{p}_{\text{Wilson}} = \frac{\text{Successes }(x) + \frac{z^{2}}{2}}{\text{Trials }(n) + z^{2}}, \quad z = 1.96$$ で、これはウィルソンのスコア信頼区間の中心にあたり、95% 信頼水準では \(z = 1.96\) を用います。いずれの平滑化項も、推定値を 0.5 のほうへわずかに引き寄せることで、小標本におけるバイアスとばらつきを抑えます。
計算例
10 回中 8 回が成功したとします。MLE = \(8/10 = 0.8\)。ラプラス = \((8+1)/(10+2) = 9/12 = 0.75\)。ジェフリーズ = \((8+0.5)/(10+1) = 8.5/11 \approx 0.7727\)。ウィルソン（\(z^{2}=3.8416\)）= \((8 + 1.9208)/(10 + 3.8416) = 9.9208/13.8416 \approx 0.7168\)。このように、平滑化された推定値は生の値 0.8 を中央寄りに引き戻していることがわかります。
よくある質問
どの推定値を採用すればよいですか？ 一般的な報告では、MLE（サンプル比率）が標準です。小標本やまれな事象を扱う場合は、ラプラスやウィルソンのほうが信頼できます。
なぜウィルソンでは z を使うのですか？ ウィルソンの点推定値は、ウィルソンのスコア信頼区間の中点であり、選んだ信頼水準に対応する z 値（\(1.96 \approx 95\%\)）に依存するためです。
x = 0 や x = n のときはどうなりますか？ MLE は 0 または 1 を返しますが、これは現実的でないことが多いです。一方、平滑化された推定量は 0 と 1 の間に厳密に収まる値を返します。
