Калькулятор радиуса инерции

Введите расчет

Тип расчёта Mass (I & m) Area (I & A)

Момент инерции I

Масса m или площадь A

Результатов

Радиус инерции (k)

5

единицы длины

I / (m или A)	25

Что такое радиус инерции?

Радиус инерции, который обозначают буквой k (или r), — это расстояние от оси вращения или изгиба, на котором можно было бы сосредоточить всю массу (или площадь) тела, не изменив его момент инерции. Эта величина компактно описывает, как масса или площадь распределены относительно оси, и играет ключевую роль в динамике, строительной механике и расчётах продольного изгиба колонн.

Радиус инерции \(k\) — это расстояние от оси, на котором можно сосредоточить всю массу, чтобы получить тот же момент инерции.

Формула

В динамической (массовой) задаче радиус инерции вычисляется как $$k = \sqrt{\dfrac{\text{Момент инерции } I}{\text{Масса } m}}$$ где I — массовый момент инерции, а m — масса. В строительной (площадной) задаче формула выглядит так: $$k = \sqrt{\dfrac{\text{Момент инерции } I}{\text{Площадь } A}}$$ где I — осевой момент инерции сечения, а A — площадь поперечного сечения. Математика в обоих случаях идентична — различается лишь физический смысл входных данных.

Реклама

Визуализация \(k = \sqrt{I/m}\): радиус инерции — это квадратный корень из момента инерции, делённого на массу.

Как пользоваться калькулятором

Выберите, с чем вы работаете — с массой или с площадью, введите момент инерции I, а затем массу m или площадь A. Калькулятор выдаст значение k, а также промежуточное отношение I/(m или A). Следите за согласованностью единиц: если I задан в кг·м², а m в кг, то k получится в метрах; если I в мм⁴, а A в мм², то k будет в миллиметрах.

Разбор примера

У стального сечения осевой момент инерции \(I = 1000\ \text{мм}^4\), а площадь поперечного сечения \(A = 40\ \text{мм}^2\). Тогда \(I/A = 25\ \text{мм}^2\) и $$k = \sqrt{25} = 5\ \text{мм}.$$ Значит, радиус инерции этого сечения равен 5 мм.

Частые вопросы

Одинаков ли радиус инерции для массы и для площади? Понятие и формула одни и те же; различаются входные данные (массовый момент инерции против осевого момента инерции сечения) и, соответственно, единицы измерения.

Почему его используют при расчёте устойчивости колонн? Гибкость колонны равна её расчётной длине, делённой на наименьший радиус инерции, и именно она определяет критическую нагрузку потери устойчивости.

Может ли k превышать размеры самого тела? Нет — k всегда находится в пределах физических размеров сечения, поскольку это средневзвешенное расстояние материала от оси.