ما هو نصف قطر الدوران؟
نصف قطر الدوران، ويُرمز له بالرمز k (أو r)، هو المسافة عن محور الدوران أو الانحناء التي يمكن أن تتركز عندها كامل كتلة الجسم (أو مساحته) دون أن يتغير عزم القصور الذاتي. وهو يصف بشكل مختصر كيفية توزيع الكتلة أو المساحة حول المحور، وهو مفهوم أساسي في علم الديناميكا والهندسة الإنشائية وتحليل انبعاج الأعمدة.
الصيغة الرياضية
في المسائل الديناميكية (المعتمدة على الكتلة) يُعطى نصف قطر الدوران بالعلاقة $$k = \sqrt{\dfrac{\text{Moment of inertia } I}{\text{Mass } m}}$$ حيث I هو عزم القصور الذاتي الكتلي وm هي الكتلة. أما في المسائل الإنشائية (المعتمدة على المساحة) فيُحسب بالعلاقة $$k = \sqrt{\dfrac{\text{Moment of inertia } I}{\text{Area } A}}$$ حيث I هو عزم القصور الذاتي للمساحة (العزم الثاني للمساحة) وA هي مساحة المقطع العرضي. وتتطابق العلاقتان رياضيًا تمامًا، والفرق الوحيد هو في معنى المدخلات.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولًا ما إذا كنت تعمل على أساس الكتلة أم المساحة، ثم أدخل عزم القصور الذاتي I، وبعدها أدخل الكتلة m أو المساحة A. تعرض الحاسبة قيمة k إلى جانب النسبة الوسيطة I/(m أو A). واحرص على توحيد الوحدات: إذا كان I بوحدة \(\text{kg}\cdot\text{m}^2\) وm بوحدة kg، فإن k يكون بالمتر؛ وإذا كان I بوحدة \(\text{mm}^4\) وA بوحدة \(\text{mm}^2\)، فإن k يكون بالمليمتر.
مثال محلول
لدينا مقطع فولاذي عزمه الثاني للمساحة \(I = 1000 \ \text{mm}^4\) ومساحة مقطعه العرضي \(A = 40 \ \text{mm}^2\). إذن $$\frac{I}{A} = 25 \ \text{mm}^2 \quad\Rightarrow\quad k = \sqrt{25} = 5 \ \text{mm}$$ وعليه فإن نصف قطر الدوران لهذا المقطع يساوي 5 mm.
الأسئلة الشائعة
هل نصف قطر الدوران واحد للكتلة والمساحة؟ المفهوم والصيغة متطابقان، لكن المدخلات تختلف (عزم القصور الذاتي الكتلي مقابل العزم الثاني للمساحة)، وبالتالي تختلف الوحدات تبعًا لذلك.
لماذا يُستخدم في تحليل انبعاج الأعمدة؟ لأن نسبة النحافة للعمود تساوي طوله الفعّال مقسومًا على أصغر نصف قطر دوران له، وهي النسبة التي تتحكم في حمل الانبعاج الحرج.
هل يمكن أن يكون k أكبر من أبعاد الجسم؟ لا، إذ يقع k دائمًا ضمن الامتداد الفيزيائي للمقطع، لأنه عبارة عن متوسط مرجّح لمسافة المادة عن المحور.
