二次函數頂點計算器

輸入計算

係數 a

係數 b

係數 c

結果

頂點 (h, k)

(2, -1)

拋物線的轉折點

h（x 座標）	2
k（y 座標）	-1
對稱軸	x = 2
開口方向	Upward (minimum)

這個計算器的功能

這個工具可以從二次函數的一般式 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 求出拋物線的頂點。頂點就是拋物線的轉折點——當開口向上時是最低點，當開口向下時則是最高點。頂點以座標 \((h, k)\) 表示，其中 \(h\) 為 x 座標，\(k\) 為 y 座標。

頂點 \((h, k)\) 是拋物線的轉折點，對稱軸是垂直線 \(x = h\)。

使用方法

輸入方程式中的三個係數 a、b、c。係數 a 不可為零（否則方程式就變成一次式，而非二次式）。計算器會回傳頂點 \((h, k)\)、對稱軸（\(x = h\)），以及拋物線的開口方向（向上或向下）。

公式說明

頂點的 x 座標由 \(h = -\frac{b}{2a}\) 求得，這個值同時也是對稱軸的位置。把 h 代回原函數即可得到 y 座標，化簡後為 \(k = c - \frac{b^2}{4a}\)。當 \(a > 0\) 時拋物線開口向上，k 為最小值；當 \(a < 0\) 時開口向下，k 為最大值。完整公式為：

$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2\,a},\;\; c - \frac{b^{2}}{4\,a}\right)$$

a 的符號決定開口方向：\(a > 0\) 向上開口（最小值），\(a < 0\) 向下開口（最大值）。

範例演練

以 \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) 為例，可知 \(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\)。則 $$h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ 而 $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ 因此頂點為 \((2, -1)\)，對稱軸為 \(x = 2\)；由於 a 為正值，拋物線開口向上，最小值為 \(-1\)。

常見問題

什麼是頂點式？頂點式為 \(f(x) = a(x - h)^2 + k\)。只要用這個計算器求出 \((h, k)\)，就能用同一個 a 把一般式直接改寫成頂點式。

為什麼 a 不能為零？若 \(a = 0\)，方程式就沒有 \(x^2\) 項，圖形會變成一條直線，也就沒有頂點可言。

對稱軸和 h 是一樣的嗎？是的。對稱軸是垂直線 \(x = h\)，它把拋物線分成左右對稱的兩半。