이차함수 꼭짓점 계산기

계산 입력

계수 a

계수 b

계수 c

결과

꼭짓점 (h, k)

(2, -1)

포물선이 방향을 바꾸는 지점

h (x좌표)	2
k (y좌표)	-1
대칭축	x = 2
볼록 방향	Upward (minimum)

이 계산기는 무엇을 하나요?

이 도구는 표준형 이차함수 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)가 주어졌을 때 포물선의 꼭짓점을 찾아 줍니다. 꼭짓점은 포물선이 방향을 바꾸는 지점으로, 위로 볼록한 경우에는 가장 낮은 점, 아래로 볼록한 경우에는 가장 높은 점을 뜻합니다. 꼭짓점은 순서쌍 \((h, k)\)으로 나타내며, \(h\)는 x좌표, \(k\)는 y좌표입니다.

꼭짓점 \((h, k)\)은 포물선의 전환점이며, 대칭축은 수직선 \(x = h\)입니다.

사용 방법

식에 들어 있는 세 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 이때 계수 \(a\)는 0이 되어서는 안 됩니다(0이면 이차함수가 아니라 일차함수가 됩니다). 계산기는 꼭짓점 \((h, k)\), 대칭축(\(x = h\)), 그리고 포물선이 위로 볼록한지 아래로 볼록한지를 알려 줍니다.

공식 풀이

꼭짓점의 x좌표는 \(h = -\dfrac{b}{2a}\)로 구하며, 이 값은 대칭축의 x값과 같습니다. 구한 \(h\)를 함수에 다시 대입하면 y좌표를 얻을 수 있는데, 이를 정리하면 다음과 같습니다.

$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2\,a},\;\; c - \frac{b^{2}}{4\,a}\right)$$

\(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\)가 됩니다. \(a > 0\)이면 포물선은 위로 볼록하고 \(k\)가 최솟값이며, \(a < 0\)이면 아래로 볼록하고 \(k\)가 최댓값이 됩니다.

\(a\)의 부호가 방향을 결정합니다: \(a > 0\)이면 위로 열리고(최솟값), \(a < 0\)이면 아래로 열립니다(최댓값).

예제로 풀어보기

\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)을 살펴보면 \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)입니다. 그러면 다음과 같습니다.

$$h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

또한 다음과 같습니다.

$$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$

따라서 꼭짓점은 \((2, -1)\), 대칭축은 \(x = 2\)이며, \(a\)가 양수이므로 포물선은 위로 볼록하고 최솟값은 \(-1\)입니다.

자주 묻는 질문

꼭짓점형(표준형 vs 꼭짓점형)이란 무엇인가요? 꼭짓점형은 \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) 형태입니다. 이 계산기로 \((h, k)\)를 구하면, 같은 \(a\)를 그대로 사용해 표준형을 바로 꼭짓점형으로 바꿔 쓸 수 있습니다.

\(a\)가 0이면 왜 안 되나요? \(a = 0\)이면 \(x^2\) 항이 사라져 그래프가 직선이 되고, 꼭짓점이 존재하지 않게 됩니다.

대칭축은 \(h\)와 같은 값인가요? 네, 같습니다. 대칭축은 포물선을 좌우 대칭의 두 부분으로 나누는 세로선 \(x = h\)를 말합니다.