この計算機でできること
このツールは、標準形 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) で表された二次関数から、放物線の頂点を求めます。頂点とは放物線の折り返し点のことで、グラフが上に開くときは最も低い点、下に開くときは最も高い点を指します。頂点は座標 \((h, k)\) で表され、\(h\) が x 座標、\(k\) が y 座標です。
使い方
お手元の式から係数 a、b、c の3つを入力してください。係数 a は 0 以外でなければなりません（0 の場合は二次関数ではなく一次関数になってしまいます）。計算機は頂点 \((h, k)\)、対称軸（\(x = h\)）、そして放物線が上に開くか下に開くかを表示します。
計算式の解説
頂点の x 座標は \(h = -\frac{b}{2a}\) で求められ、これは対称軸の値と同じです。この \(h\) を元の関数に代入すると y 座標が得られ、整理すると \(k = c - \frac{b^2}{4a}\) となります。 $$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2a},\;\; c - \frac{b^{2}}{4a}\right)$$ a > 0 のとき放物線は上に開き、\(k\) は最小値になります。a < 0 のときは下に開き、\(k\) は最大値になります。
計算例
\(f(x) = x^2 - 4x + 3\) を考えると、\(a = 1\)、\(b = -4\)、\(c = 3\) です。すると $$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ となります。さらに $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ です。したがって頂点は \((2, -1)\)、対称軸は \(x = 2\) で、a が正なので放物線は上に開き、最小値は \(-1\) になります。
よくある質問
頂点形（標準形に対する頂点の形）とは？ 頂点形は \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) で表されます。この計算機で \((h, k)\) が分かれば、同じ a を使って標準形をそのまま頂点形に書き換えられます。
なぜ a は 0 ではいけないの？ \(a = 0\) だと \(x^2\) の項が消えてしまい、グラフは直線になって頂点が存在しなくなるからです。
対称軸は h と同じ？ はい。対称軸とは、放物線を左右対称の2つに分ける垂直な直線 \(x = h\) のことです。
