द्विघात शीर्ष (Vertex) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

गुणांक a

गुणांक b

गुणांक c

परिणाम

शीर्ष (h, k)

(2, -1)

परवलय का मोड़-बिंदु

h (x-निर्देशांक)	2
k (y-निर्देशांक)	-1
सममिति अक्ष	x = 2
खुलने की दिशा	Upward (minimum)

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल मानक रूप में दिए गए द्विघात समीकरण f(x) = ax² + bx + c से परवलय का शीर्ष (vertex) ज्ञात करता है। शीर्ष परवलय का मोड़-बिंदु होता है — जब वक्र ऊपर की ओर खुलता है तो यह उसका सबसे निचला बिंदु होता है, और जब नीचे की ओर खुलता है तो सबसे ऊँचा बिंदु। शीर्ष को क्रमित युग्म (h, k) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ h उसका x-निर्देशांक और k उसका y-निर्देशांक है।

शीर्ष (h, k) परवलय का मोड़ बिंदु है, और समरूपता की धुरी ऊर्ध्वाधर रेखा x = h है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने समीकरण से तीनों गुणांक a, b और c दर्ज करें। ध्यान रहे कि गुणांक a शून्य नहीं होना चाहिए (वरना समीकरण द्विघात नहीं, बल्कि रैखिक हो जाएगा)। कैलकुलेटर आपको शीर्ष (h, k), सममिति अक्ष (x = h), और यह बताएगा कि परवलय ऊपर की ओर खुलता है या नीचे की ओर।

सूत्र को समझें

शीर्ष का x-निर्देशांक \(h = -\frac{b}{2a}\) से मिलता है, जो सममिति अक्ष के बराबर ही होता है। इस h को फ़ंक्शन में वापस रखने पर y-निर्देशांक मिलता है, जो सरलीकृत होकर \(k = c - \frac{b^{2}}{4a}\) बन जाता है। जब a > 0 हो तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है और k एक न्यूनतम मान होता है; जब a < 0 हो तो यह नीचे की ओर खुलता है और k एक अधिकतम मान होता है।

$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2\,a},\;\; c - \frac{b^{2}}{4\,a}\right)$$

a का चिह्न दिशा तय करता है: a > 0 ऊपर की ओर खुलता है (न्यूनतम), a < 0 नीचे की ओर खुलता है (अधिकतम)।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए f(x) = x² − 4x + 3, यानी a = 1, b = −4, c = 3। तब \(h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\)। और \(k = 3 - \frac{(-4)^{2}}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1\)। इसलिए शीर्ष (2, −1) है, सममिति अक्ष x = 2 है, और चूँकि a धनात्मक है, परवलय ऊपर की ओर खुलता है जिसका न्यूनतम मान −1 है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

शीर्ष रूप (vertex form) क्या होता है? शीर्ष रूप f(x) = a(x − h)² + k होता है। इस कैलकुलेटर से (h, k) जान लेने के बाद, आप वही a इस्तेमाल करके मानक रूप को सीधे शीर्ष रूप में बदल सकते हैं।

a शून्य क्यों नहीं हो सकता? यदि a = 0 हो तो x² पद रहता ही नहीं, इसलिए ग्राफ़ एक सीधी रेखा बन जाता है और उसका कोई शीर्ष नहीं होता।

क्या सममिति अक्ष और h एक ही चीज़ हैं? हाँ। सममिति अक्ष वह ऊर्ध्वाधर रेखा x = h होती है जो परवलय को दो दर्पण-प्रतिबिंब जैसे बराबर हिस्सों में बाँट देती है।