这个计算器能做什么
本工具用于求一般式二次函数 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 所对应抛物线的顶点。顶点是抛物线的转折点——当开口向上时它是曲线的最低点，当开口向下时则是最高点。顶点通常写成有序数对 \((h, k)\)，其中 \(h\) 为横坐标，\(k\) 为纵坐标。
使用方法
把方程中的三个系数 \(a\)、\(b\)、\(c\) 分别填入。系数 \(a\) 不能为零（否则方程就退化为一次函数，而非二次函数）。计算器会给出顶点 \((h, k)\)、对称轴（\(x = h\)），以及抛物线是向上还是向下开口。
公式详解
顶点的横坐标由 \(h = -\frac{b}{2a}\) 求得，这个值与对称轴相同。把 \(h\) 代回函数即可得到纵坐标，化简后为 \(k = c - \frac{b^2}{4a}\)。当 \(a > 0\) 时，抛物线开口向上，\(k\) 为最小值；当 \(a < 0\) 时，开口向下，\(k\) 为最大值。
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\;\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$
实例演算
以 \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) 为例，此时 \(a = 1\)，\(b = -4\)，\(c = 3\)。则 $$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$ $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$ 因此顶点为 \((2, -1)\)，对称轴为 \(x = 2\)。由于 \(a\) 为正，抛物线开口向上，最小值为 \(-1\)。
常见问题
什么是顶点式？顶点式为 \(f(x) = a(x - h)^2 + k\)。用本计算器求出 \((h, k)\) 之后，就可以保持 \(a\) 不变，直接把一般式改写成顶点式。
为什么 a 不能为零？如果 \(a = 0\)，方程中就没有 \(x^2\) 项，图像便是一条直线，自然也就没有顶点。
对称轴和 h 是同一个值吗？是的。对称轴就是竖直直线 \(x = h\)，它把抛物线分成左右对称、互为镜像的两半。
