ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة إيجاد رأس القطع المكافئ انطلاقًا من دالة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية \(f(x) = ax^2 + bx + c\). الرأس هو نقطة انعطاف المنحنى — أي أدنى نقطة فيه عندما يفتح القطع نحو الأعلى، أو أعلى نقطة عندما يفتح نحو الأسفل. ويُكتب الرأس على هيئة الزوج المرتب (h, k)، حيث تمثل h الإحداثي السيني (x) وتمثل k الإحداثي الصادي (y).
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة a وb وc كما تظهر في معادلتك. يجب ألا يساوي المعامل a صفرًا، وإلا تحوّلت المعادلة إلى معادلة خطية لا تربيعية. تعرض لك الحاسبة بعد ذلك إحداثيات الرأس (h, k)، ومحور التماثل (x = h)، وما إذا كان القطع المكافئ يفتح نحو الأعلى أم نحو الأسفل.
شرح المعادلة
نحصل على الإحداثي السيني للرأس من العلاقة \(h = -\frac{b}{2a}\)، وهي القيمة نفسها التي يمر بها محور التماثل. وبتعويض قيمة h داخل الدالة نحصل على الإحداثي الصادي الذي يُختصر إلى \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). فعندما تكون a > 0 يفتح القطع نحو الأعلى وتمثل k قيمة صغرى، أما عندما تكون a < 0 فيفتح نحو الأسفل وتمثل k قيمة عظمى.
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\;\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)، أي أن \(a = 1\) وb \(= -4\) وc \(= 3\). عندئذٍ يكون \(h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\). وكذلك \(k = 3 - \frac{(-4)^2}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1\). إذن الرأس هو (2، −1)، ومحور التماثل هو \(x = 2\)، وبما أن a موجبة فإن القطع المكافئ يفتح نحو الأعلى وله قيمة صغرى تساوي −1.
الأسئلة الشائعة
ما هي صيغة الرأس؟ صيغة الرأس هي \(f(x) = a(x - h)^2 + k\). وبمجرد معرفة (h, k) من هذه الحاسبة، يمكنك تحويل الصيغة القياسية مباشرة إلى صيغة الرأس باستخدام قيمة a نفسها.
لماذا يجب ألا يساوي a صفرًا؟ إذا كانت \(a = 0\) فلن يوجد حد يحتوي على \(x^2\)، وبالتالي يصبح الرسم البياني خطًا مستقيمًا لا رأس له.
هل محور التماثل هو نفسه h؟ نعم. محور التماثل هو الخط الرأسي \(x = h\) الذي يقسم القطع المكافئ إلى نصفين متطابقين كصورة المرآة.
