Ce que fait ce calculateur
Cet outil détermine le sommet d'une parabole décrite par une fonction du second degré sous forme développée, \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Le sommet correspond au point d'inflexion de la parabole : son point le plus bas lorsque la courbe est tournée vers le haut, ou son point le plus haut lorsqu'elle est tournée vers le bas. On l'exprime sous la forme d'un couple \((h, k)\), où \(h\) est l'abscisse et \(k\) l'ordonnée.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de votre équation. Le coefficient a ne doit pas être nul (sinon l'équation devient affine, et non du second degré). Le calculateur affiche le sommet \((h, k)\), l'axe de symétrie (\(x = h\)) et indique si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas.
La formule expliquée
L'abscisse du sommet se calcule par \(h = -\frac{b}{2a}\), qui correspond aussi à l'axe de symétrie. En réinjectant \(h\) dans la fonction, on obtient l'ordonnée, qui se simplifie en \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). La formule complète du sommet est :
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2\,a},\;\; c - \frac{b^{2}}{4\,a}\right)$$Lorsque \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut et \(k\) est un minimum ; lorsque \(a < 0\), elle est tournée vers le bas et \(k\) est un maximum.
Exemple concret
Prenons \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), soit \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). On a alors :
$$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$Puis :
$$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$Le sommet est donc \((2, -1)\), l'axe de symétrie est \(x = 2\) et, comme \(a\) est positif, la parabole est tournée vers le haut avec un minimum de \(-1\).
FAQ
Qu'est-ce que la forme canonique ? La forme canonique s'écrit \(f(x) = a(x - h)^2 + k\). Une fois que vous connaissez \((h, k)\) grâce à ce calculateur, vous pouvez réécrire directement la forme développée en forme canonique en conservant le même \(a\).
Pourquoi a ne doit-il pas être nul ? Si \(a = 0\), il n'y a plus de terme en \(x^2\) : le graphe devient une droite et ne possède donc pas de sommet.
L'axe de symétrie est-il identique à h ? Oui. L'axe de symétrie est la droite verticale d'équation \(x = h\) qui partage la parabole en deux moitiés symétriques.
