Калькулятор вершины параболы

Введите расчет

Коэффициент a

Коэффициент b

Коэффициент c

Результатов

Вершина (h, k)

(2, -1)

точка перегиба параболы

h (координата по x)	2
k (координата по y)	-1
Ось симметрии	x = 2
Ветви направлены	Upward (minimum)

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент находит вершину параболы по квадратичной функции в стандартном виде \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Вершина — это точка перегиба параболы: её самая нижняя точка, если ветви направлены вверх, или самая верхняя, если ветви смотрят вниз. Вершину записывают в виде упорядоченной пары \((h, k)\), где \(h\) — абсцисса (координата по x), а \(k\) — ордината (координата по y).

Вершина \((h, k)\) — это точка поворота параболы, а ось симметрии — вертикальная прямая \(x = h\).

Как пользоваться

Введите три коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\) из вашего уравнения. Коэффициент a не должен равняться нулю — иначе уравнение становится линейным, а не квадратичным. Калькулятор выдаёт вершину \((h, k)\), ось симметрии (\(x = h\)) и сообщает, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз.

Разбор формулы

Абсцисса вершины вычисляется по формуле \(h = -\frac{b}{2a}\) — это же значение задаёт ось симметрии. Если подставить \(h\) обратно в функцию, получим ординату, которая после упрощения принимает вид \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх, и \(k\) — это минимум функции; при \(a < 0\) ветви смотрят вниз, а \(k\) — максимум.

$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\;\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$

Знак \(a\) задаёт направление: \(a > 0\) открывается вверх (минимум), \(a < 0\) открывается вниз (максимум).

Разбор примера

Возьмём \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), то есть \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Тогда $$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.$$ А $$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Вершина — это точка \((2, -1)\), ось симметрии — прямая \(x = 2\), и поскольку \(a\) положительное, ветви параболы направлены вверх, а минимум функции равен \(-1\).

Частые вопросы

Что такое вершинная форма? Вершинная форма записывается как \(f(x) = a(x - h)^2 + k\). Зная \((h, k)\) из этого калькулятора, вы можете сразу переписать стандартный вид в вершинную форму с тем же коэффициентом \(a\).

Почему a не может быть нулём? Если \(a = 0\), то слагаемого с \(x^2\) нет, и график превращается в прямую линию — у неё нет вершины.

Ось симметрии — это то же самое, что h? Да. Ось симметрии — это вертикальная прямая \(x = h\), которая делит параболу на две зеркально симметричные половины.