自由度计算器

输入计算

检验类型 One sample (df = n − 1) Two samples (df = n1 + n2 − 2)

样本量 n（或 n1）

第二个样本量 n2

结果

自由度

9

df

样本量 n / n1	10
第二个样本量 n2	12

什么是自由度？

自由度（degrees of freedom，简称 df）指的是统计计算中可以自由变化的独立数值个数。在假设检验里，自由度决定了你应该查 t 分布表（或卡方分布、F 分布表）的哪一行，从而找到对应的临界值和 p 值。本计算器涵盖两种最常见的情形：单样本 t 检验，以及假设方差相等的双样本（独立样本）t 检验。

自由度：均值一旦固定，除一个值外其余都可自由变化。

如何使用本计算器

首先选择检验类型。如果是单样本检验，输入样本量 n；如果是双样本检验，则同时输入两个样本量 n1 和 n2。计算器会给出在查找临界值时应当使用的自由度。

公式解析

对于单个样本，你需要估计一个参数（即均值），因此损失一个自由度：$$df = n - 1$$。对于两个独立样本，你要估计两个均值，损失两个自由度：$$df = n_1 + n_2 - 2$$。这个合并方差（pooled variance）公式的前提是：两个总体的方差相等。

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单样本使用 \(df = n - 1\)；双样本因估计两个均值而减去 2。

实例演示

假设 A 组有 15 个观测值，B 组有 18 个观测值，你要做独立双样本 t 检验。自由度为：$$df = 15 + 18 - 2 = 31$$ 接下来，你就可以在所选的显著性水平下，查出 31 个自由度对应的 t 临界值。

常见问题

单样本为什么要减 1？因为样本均值是由数据本身算出来的，一旦均值固定下来，只有 \(n - 1\) 个数值能够自由变化。

如果两个样本的方差不相等怎么办？那就应改用 Welch t 检验，它采用更复杂的自由度公式（即 Welch–Satterthwaite 方程），而不是 \(n_1 + n_2 - 2\)。

自由度可以是小数吗？在上述合并方差和单样本的情形中不可以——自由度始终是整数。只有在使用 Welch 近似时，才会出现小数形式的自由度。