تساعدك حاسبة التوافيق (nCr) على إيجاد العدد الكلي للطرق الممكنة لاختيار عيّنة بحجم معيّن من مجموعة من العناصر المتمايزة، حيث لا يهمّ الترتيب ولا يُسمح بالتكرار. إنها أداة مثالية لحل المسائل المتعلقة بـالتوافيق والتباديل في الاحتمالات والإحصاء وغيرها.
ما هي التوافيق؟
في علم التوافيق (Combinatorics)، يُقصد بـالتوفيقة طريقة لاختيار عناصر من مجموعة أكبر دون أن يكون للترتيب أهمية. ويختلف هذا عن التباديل التي يكون فيها للترتيب أهمية.
صيغة التوافيق القياسية هي:
$$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$حيث:
- \(n\) = العدد الكلي للعناصر في المجموعة
- \(r\) = حجم العيّنة أو عدد العناصر المختارة
- ! = العاملي (مضروب العدد)
تحسب هذه الأداة التوافيق دون تكرار، أي أن كل عنصر يُختار مرة واحدة فقط ضمن التوفيقة الواحدة.
متى تستخدم هذه الحاسبة؟
- اختيار مجموعة من الفائزين من بين عدد أكبر من المشاركين
- انتقاء أوراق من مجموعة (دِك) دون أن يهمّ ترتيبها
- حل المسائل الإحصائية المتعلقة بـالتوافيق والتباديل
- إيجاد العدد الكلي عندما تكون التوافيق وحدها هي المطلوبة دون اعتبار للترتيب
كيف تعمل الحاسبة؟
- أدخل عدد العناصر (n): اكتب العدد الكلي للعناصر في المجموعة.
- أدخل حجم العيّنة (r): حدّد عدد العناصر التي تريد اختيارها.
- اضغط على "احسب": تستخدم الحاسبة صيغة التوافيق لإيجاد النتيجة.
- اعرض النتيجة: ستظهر لك عدد الطرق الممكنة لاختيار
rمنnعندما لا يهمّ الترتيب.
مثال على الحساب
لنفترض أنك تريد اختيار 3 عناصر من مجموعة مكوّنة من 10 عناصر:
$$n = 10, \quad r = 3$$ $$10C3 = \frac{10!}{3!\left(10-3\right)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$إذًا، هناك 120 توفيقة ممكنة لاختيار 3 عناصر من مجموعة من 10.
الأسئلة الشائعة
1. ما الفرق بين التوافيق والتباديل؟
تُستخدم التوافيق عندما لا يهمّ الترتيب، بينما تُستخدم التباديل عندما يكون للترتيب أهمية. فعلى سبيل المثال، اختيار أعضاء فريق هو توفيقة، أما توزيع المهام عليهم فهو تبديلة.
2. هل يمكنني حساب التوافيق مع التكرار؟
صُمّمت هذه الحاسبة لحساب التوافيق دون تكرار. أما إذا كان التكرار مسموحًا، فيجب استخدام صيغة مختلفة هي: n+r-1Cr.
3. ماذا يحدث إذا تجاوز حجم العيّنة العدد الكلي للعناصر؟
لا يمكنك اختيار عدد من العناصر أكبر مما هو متاح في المجموعة. فإذا كان r > n، تصبح التوفيقة غير مُعرَّفة رياضيًا.
جدول مرجعي لـ nCr للقيم الشائعة
يعطي الجدول أدناه \(C(n, r)\) للقيم الصغيرة من \(n\) (من 1 إلى 10) عبر كل اختيار صحيح لـ \(r\) (من 0 حتى \(n\)). هذا هو مثلث باسكال المعروف جيدًا: كل قيمة داخلية تساوي مجموع القيمتين المائلتين أعلاها، وكل صف متماثل لأن \(C(n, r) = C(n, n-r)\). اقرأ القيمة حيث يلتقي صفك \(n\) بعمودك \(r\).
| n \ r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
لاحظ أن \(C(n, 0) = C(n, n) = 1\) (هناك طريقة واحدة بالضبط لاختيار لا شيء، وطريقة واحدة لاختيار كل شيء) و \(C(n, 1) = n\) (هناك \(n\) طريقة لاختيار عنصر واحد).
أمثلة عملية إضافية
يعوض كل مثال القيم مباشرة في صيغة التوافيق \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)، حيث لا يهم الترتيب.
-
أيدي البوكر — 52 اختر 5. يحتوي الرزمة القياسية على 52 بطاقة واليد الواحدة من البوكر هي 5 بطاقات مستخرجة بدون الاهتمام بالترتيب:
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5!\,(52-5)!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120}$$مما يعطي 2,598,960 يد خماسية بطاقة مختلفة.
-
اختيار جميعهم — 6 اختر 6. عندما تضطر لاختيار كل عنصر، هناك مجموعة واحدة فقط ممكنة:
$$C(6, 6) = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{6!}{6! \times 0!} = \frac{720}{720 \times 1} = 1$$هذا يستخدم الاتفاقية بأن \(0! = 1\). إذن \(C(6, 6) = \) 1.
-
عدم اختيار أي شيء — 8 اختر 0. هناك طريقة واحدة بالضبط لاختيار لا شيء من مجموعة (الاختيار الفارغ):
$$C(8, 0) = \frac{8!}{0!\,(8-0)!} = \frac{8!}{1 \times 8!} = 1$$وبالتالي \(C(8, 0) = \) 1.
-
لجنة — 10 اختر 3. اختيار لجنة من 3 أشخاص من 10 مرشحين (المناصب غير مميزة):
$$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$$مما يعطي 120 لجنة ممكنة. إذا كانت الأدوار مميزة (رئيس، سكرتير، أمين صندوق)، فإن الترتيب سيكون مهمًا وستحسب بدلاً من ذلك التبديل 720.
المصطلحات الأساسية والتعاريف
- التوفيقة
- اختيار عناصر من مجموعة أكبر حيث ترتيب الاختيار غير مهم. يُكتب عدد توفيقات \(r\) عنصرًا من \(n\) على النحو \(C(n, r)\)، \(\binom{n}{r}\)، أو "n اختر r".
- التبديل
- ترتيب منظم للعناصر. لأن الترتيب مهم، فإن التبديلات دائمًا تساوي على الأقل بقدر التوفيقات: \(P(n, r) = C(n, r) \times r!\). على سبيل المثال، \{A, B\} و \{B, A\} تعتبر توفيقة واحدة لكن تبديلين.
- n (حجم المجموعة)
- العدد الإجمالي للعناصر المختلفة المتاحة للاختيار — حجم المجموعة الكاملة. في الصيغة فهو الرقم العلوي لـ \(\binom{n}{r}\).
- r (حجم العينة)
- عدد العناصر التي تختارها من المجموعة. يجب أن يحقق \(0 \le r \le n\). في الصيغة فهو الرقم السفلي لـ \(\binom{n}{r}\).
- المضروب (!)
- حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى عدد معين: \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\). بالتعريف \(0! = 1\). تظهر المضاريب في جميع أنحاء صيغة التوافيق. على سبيل المثال، \(5! = 120\).
- "الترتيب غير مهم"
- الخاصية المحددة للتوفيقات: تعتبر اختياران يحتويان على نفس العناصر متطابقين بغض النظر عن التسلسل الذي تم اختيارهما. لهذا السبب \(C(n, r)\) يقسم العد المرتب \(P(n, r)\) على \(r!\) لحذف الترتيبات المكررة.
nCr عبر سيناريوهات مختلفة
صيغة التوافق الواحدة، \(C(n,r)=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)، تُمكّن حل الكثير من مسائل العد اليومية. لأن الترتيب لا يُهم في التوافق، فإن nCr يجيب على أسئلة مثل "كم عدد المجموعات المميزة التي يمكن تشكيلها" وليس "كم عدد التسلسلات المرتبة". الجدول أدناه يحل عدة حالات واقعية، كل منها محسوب باستخدام هذه الآلة الحاسبة.
| السيناريو | n (الإجمالي) | r (المختار) | nCr | السياق الواقعي |
|---|---|---|---|---|
| المصادفة الصغيرة | 5 | 2 | 10 | عدد الطرق لاختيار 2 زميل من 5 أشخاص، أو 2 إضافة من 5 خيارات. |
| اختيار اللجنة | 10 | 3 | 120 | لجان فرعية مميزة بـ 3 أعضاء يمكن اختيارها من مجموعة مكونة من 10 أشخاص. |
| يانصيب 6/49 | 49 | 6 | 13,983,816 | إجمالي عمليات السحب الممكنة لـ 6 أرقام من 49 — احتمالات مطابقة جميع الستة على تذكرة واحدة هي 1 في هذا العدد. |
| أيدي البوكر | 52 | 5 | 2,598,960 | عدد أيدي البوكر المميزة بـ 5 ورقات الموزعة من رزمة قياسية بـ 52 ورقة (تجاهل الترتيب). |
| إضافات البيتزا | 8 | 3 | 56 | طرق اختيار 3 إضافات من قائمة بـ 8 خيارات، حيث لا يُهم ترتيب الاختيار. |
التحقق من الحساب لحالة البوكر: \(C(52,5)=\dfrac{52!}{5!\,(52-5)!}=\dfrac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{311{,}875{,}200}{120}=2{,}598{,}960.\) إذا كان الترتيب مهماً، فستستخدم بدلاً من ذلك الترتيبات، \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)، مما يعطي عداً أكبر بكثير.
