¿Qué es la paradoja del cumpleaños?
La paradoja del cumpleaños es el hecho sorprendente de que en un grupo de tan solo 23 personas hay más del 50% de probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día. Nos choca porque solemos imaginar que alguien coincide con nuestro propio cumpleaños, pero el cálculo cuenta cualquier pareja que coincida, y el número de parejas posibles crece muy rápido a medida que aumenta el grupo. Es probabilidad pura y se aplica en cualquier lugar del mundo.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el tamaño de grupo más pequeño («Tamaño de grupo desde»), el más grande («Tamaño de grupo hasta») y, si quieres, cambia los días del año (365 por defecto, o 366 para incluir el 29 de febrero). La herramienta genera una tabla con una fila por cada tamaño de grupo y muestra dos probabilidades en cada caso: la de que no coincida ningún cumpleaños y la de que al menos una pareja sí lo haga. Además, te indica el primer tamaño de grupo en el que la probabilidad de coincidencia alcanza el 50%.
La fórmula
Sea D el número de días del año. La probabilidad de que las n personas tengan cumpleaños distintos es el producto del conjunto cada vez menor de días libres: $$\bar{p}(n) = \frac{D}{D} \times \frac{D-1}{D} \times \dots \times \frac{D-n+1}{D}$$ La probabilidad de que al menos una pareja coincida es simplemente \(p(n) = 1 - \bar{p}(n)\). Multiplicamos paso a paso para evitar factoriales enormes y, en cuanto n supera a D, la probabilidad de no coincidencia se vuelve 0 por el principio del palomar.
Ejemplo resuelto
Con \(D = 365\) y \(n = 23\), al multiplicar $$\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdots \frac{343}{365} \approx 0{,}492703$$ obtenemos \(\bar{p}(23) \approx 0{,}492703\), de modo que \(p(23) \approx 0{,}507297\), es decir, alrededor de un 50,73% de probabilidad. Para \(n = 2\) la probabilidad es de apenas un 0,27%, y al llegar a \(n = 50\) sube hasta cerca del 97,04%.
Umbrales comunes: ¿Cuántas personas para una probabilidad determinada?
La paradoja clásica del cumpleaños sorprende a las personas porque la probabilidad de un cumpleaños compartido crece mucho más rápido de lo que la intuición sugiere. La tabla siguiente muestra el tamaño de grupo más pequeño \(n\) en el cual la probabilidad \(P(n)\) de al menos un cumpleaños compartido alcanza por primera vez cada umbral común, asumiendo \(D = 365\) días y cumpleaños distribuidos uniformemente (ignorando años bisiestos y patrones de natalidad estacional).
| Probabilidad objetivo | Tamaño del grupo \(n\) | \(P(n)\) real en ese tamaño |
|---|---|---|
| 10% | 9 | 11,6% |
| 50% | 23 | 50,7% |
| 90% | 41 | 90,3% |
| 95% | 47 | 95,0% |
| 99% | 57 | 99,0% |
| 99,9% | 70 | 99,92% |
El hito más famoso es apenas 23 personas, lo que es suficiente para hacer que un cumpleaños compartido sea más probable que improbable. Nótese que la probabilidad sube abruptamente en el rango medio — pasando de una probabilidad del 50% con 23 personas a casi seguro 99% con solo 57 — y luego se aplana al acercarse al 100%, ya que cada persona adicional añade menos nuevas oportunidades de emparejamiento en relación con las ya presentes.
Preguntas frecuentes
¿Por qué supera el 50% tan pronto? Porque 23 personas forman 253 parejas distintas, y cualquiera de ellas puede coincidir.
¿Tiene en cuenta los años bisiestos o la concentración de cumpleaños en ciertas fechas? No. Supone 365 (o 366) cumpleaños igual de probables; en la realidad, la concentración en determinadas fechas solo aumenta la probabilidad de coincidencia.
¿Qué ocurre con más de 365 personas? La coincidencia está garantizada, así que \(p(n) = 1\).
