बीटा वितरण क्या है?
बीटा वितरण एक सतत प्रायिकता वितरण है जो [0, 1] अंतराल पर परिभाषित होता है और दो धनात्मक आकार पैरामीटरों — α (अल्फा) और β (बीटा) — से नियंत्रित होता है। चूँकि यह 0 से 1 के बीच ही रहता है, इसलिए यह अनुपात, प्रायिकता, प्रतिशत और दरों को मॉडल करने के लिए सबसे स्वाभाविक विकल्प है — जैसे किसी वेबसाइट की कन्वर्ज़न दर, किसी बल्लेबाज़ का बैटिंग औसत, या बेज़ियन अनुमान में सफलता की अज्ञात प्रायिकता (यह द्विपद वितरण का संयुग्मी पूर्व यानी conjugate prior है)।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने दोनों आकार पैरामीटर α और β दर्ज करें (दोनों 0 से बड़े होने चाहिए) और 0 से 1 के बीच कोई मान x डालें। कैलकुलेटर उस बिंदु पर प्रायिकता घनत्व f(x) के साथ-साथ वितरण का माध्य, प्रसरण, मानक विचलन और बहुलक भी बता देगा। बड़ा α भार को 1 की ओर खींचता है; बड़ा β भार को 0 की ओर खींचता है; जबकि दोनों समान होने पर वक्र 0.5 के चारों ओर सममित हो जाता है।
सूत्र की व्याख्या
माध्य \(\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\) होता है और प्रसरण \(\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}\) होता है। प्रायिकता घनत्व है
$$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)}$$जहाँ \(B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}\) बीटा फलन है जो वक्र को इस तरह सामान्यीकृत करता है कि उसका कुल क्षेत्रफल 1 के बराबर रहे। जब α और β दोनों 1 से अधिक हों, तब बहुलक (शिखर) \(\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) पर स्थित होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(\alpha = 2\), \(\beta = 5\), \(\text{x} = 0.5\)। माध्य \(\frac{2}{7} \approx 0.2857\) है। प्रसरण
$$\frac{2\cdot 5}{\left(7^2\right)\left(8\right)} = \frac{10}{392} \approx 0.02551$$होता है। चूँकि \(B(2, 5) = \frac{1}{30}\) है, इसलिए घनत्व
$$f(0.5) = 0.5^1 \cdot 0.5^4 \cdot 30 = 0.5^5 \cdot 30 = 0.03125 \cdot 30 = 0.9375$$आता है।
आकार पैरामीटर वितरण को कैसे बदलते हैं
बीटा वितरण अंतराल \([0,1]\) पर रहता है और इसकी संपूर्ण आकृति दो सकारात्मक आकार पैरामीटर \(\alpha\) और \(\beta\) द्वारा नियंत्रित होती है। माध्य हमेशा \(\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\) है, प्रसरण \(\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\) है, और बहुलक (जब \(\alpha,\beta>1\)) \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) है। नीचे दी गई तालिका कई शास्त्रीय पैरामीटर जोड़े दिखाती है।
| (α, β) | आकार | माध्य = α/(α+β) | बहुलक | प्रसरण |
|---|---|---|---|---|
| (1, 1) | [0,1] पर समान (सपाट) | 0.5 | कोई नहीं (सपाट) | 0.0833 |
| (0.5, 0.5) | यू-आकार (दोनों सिरों पर द्रव्यमान, आर्कसाइन) | 0.5 | 0 और 1 (प्रतिबहुलक) | 0.1250 |
| (2, 2) | सममित घंटी, केंद्र पर पीक किया हुआ | 0.5 | 0.5 | 0.0500 |
| (5, 5) | अधिक कसी हुई सममित घंटी | 0.5 | 0.5 | 0.0227 |
| (2, 5) | दायीं ओर तिरछा (0 की ओर द्रव्यमान) | 0.2857 | 0.2 | 0.0255 |
| (5, 2) | बायीं ओर तिरछा (1 की ओर द्रव्यमान) | 0.7143 | 0.8 | 0.0255 |
दो पैटर्न स्पष्ट हैं। पहला, \(\alpha\) और \(\beta\) को बदलने से वितरण \(x=0.5\) के बारे में प्रतिबिंबित होता है, इसलिए (2,5) और (5,2) का समान आकार और प्रसरण है लेकिन विपरीत तिरछापन है। दूसरा, अपने अनुपात को निश्चित रखते हुए दोनों पैरामीटर को बढ़ाना (जैसे (2,2) \(\to\) (5,5)) माध्य को 0.5 पर रखता है लेकिन प्रसरण को सिकोड़ता है, वक्र को माध्य के चारों ओर अधिक कसकर केंद्रित करता है।
अपने बीटा परिणाम की व्याख्या करना
क्योंकि बीटा वितरण \([0,1]\) पर समर्थित है, यह एक अज्ञात अनुपात, संभावना या दर के लिए प्राकृतिक मॉडल है। प्रत्येक सारांश आंकड़ा एक अलग प्रश्न का उत्तर देता है:
- माध्य \(\mu=\alpha/(\alpha+\beta)\) अपेक्षित अनुपात है — अंतर्निहित संभावना का आपका सर्वोत्तम एकल-संख्या अनुमान।
- बहुलक \((\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)\) सबसे संभावित मान है, अर्थात घनत्व के शीर्ष का स्थान। यह केवल तभी आंतरिक शिखर के रूप में मौजूद होता है जब \(\alpha>1\) और \(\beta>1\); अन्यथा द्रव्यमान एक अंतबिंदु पर जमा हो जाता है।
- प्रसरण और मानक विचलन प्रसार को मापते हैं, या अनुपात के बारे में कितनी अनिश्चितता बनी रहती है। एक छोटा एसडी का मतलब है कि आप आश्वस्त हैं कि सही मान माध्य के पास निहित है।
मात्रा \(\alpha+\beta\) एक नमूना आकार या एकाग्रता की तरह कार्य करती है: यह जितना बड़ा होगा, प्रसरण उतना छोटा होगा और घनत्व माध्य के चारों ओर अधिक तीव्रता से केंद्रित होगा। दो वितरण समान माध्य साझा कर सकते हैं लेकिन बहुत अलग निश्चितता रख सकते हैं — बीटा(2,2) और बीटा(50,50) दोनों 0.5 पर केंद्रित हैं, लेकिन उत्तरार्द्ध बहुत संकीर्ण है।
बेयेसियन अनुमान में बीटा एक द्विपद (बर्नौली) संभावना के लिए संयुग्म पूर्व है। यदि आप पूर्व बीटा(\(\alpha_0,\beta_0\)) से शुरू करते हैं और फिर \(s\) सफलताएं और \(f\) विफलताओं का अवलोकन करते हैं, तो पश्चात सरल रूप से बीटा(\(\alpha_0+s,\ \beta_0+f\)) है। एकसमान बीटा(1,1) पूर्व के साथ, \(\alpha\) प्रभावी रूप से सफलताएं \(+1\) गिनता है और \(\beta\) विफलताएं \(+1\) गिनता है; पश्चात माध्य \((s+1)/(s+f+2)\) उत्तराधिकार का शास्त्रीय लैपलेस नियम है।
अंत में, याद रखें कि \(f(x)\) एक संभावना घनत्व है, संभावना नहीं। इसका मान 1 से अधिक हो सकता है (उदाहरण के लिए कसी हुई बीटा के शिखर के पास), और केवल दो बिंदुओं के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्र — कभी एक बिंदु पर ऊंचाई नहीं — एक वास्तविक संभावना देता है। \([0,1]\) पर कुल क्षेत्र हमेशा 1 के बराबर होता है।
परिभाषाएं और शब्दावली
- α (अल्फा)
- पहला आकार पैरामीटर, \(\alpha>0\)। ढीले ढंग से यह "सफलताओं" के भार का प्रतिनिधित्व करता है; बड़ा \(\alpha\) द्रव्यमान को 1 की ओर धकेलता है।
- β (बीटा)
- दूसरा आकार पैरामीटर, \(\beta>0\)। ढीले ढंग से यह "विफलताओं" के भार का प्रतिनिधित्व करता है; बड़ा \(\beta\) द्रव्यमान को 0 की ओर धकेलता है।
- पीडीएफ f(x)
- संभाव्यता घनत्व फलन, \(f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\) के लिए \(0\le x\le 1\)। यह सापेक्ष संभावना का वर्णन करता है; संभावनाएं इसके अंतर्गत क्षेत्र हैं।
- बीटा फलन B(α,β)
- सामान्यीकरण स्थिरांक, \(B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)। इससे विभाजित करने से घनत्व 1 में एकीकृत होता है।
- गामा फलन Γ
- भाज्य का एक सतत विस्तार, \(\Gamma(n)=(n-1)!\) सकारात्मक पूर्णांकों के लिए, आम तौर पर \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\) द्वारा परिभाषित। यह ऊपर बीटा और गामा कार्यों को जोड़ता है।
- माध्य
- अपेक्षित मान, \(\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\) — दीर्घकालिक औसत अनुपात।
- प्रसरण
- प्रसार का एक माप, \(\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\)।
- मानक विचलन
- प्रसरण का वर्गमूल, \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\), \(x\) के समान इकाइयों में व्यक्त।
- बहुलक
- सबसे संभावित मान (घनत्व का शिखर), \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) जब \(\alpha>1\) और \(\beta>1\)।
- संयुग्म पूर्व
- एक पूर्व वितरण जो दिए गए संभावना के साथ संयुक्त होकर समान परिवार में एक पश्चात देता है। बीटा द्विपद/बर्नौली संभावना के लिए संयुग्म पूर्व है।
- समर्थन [0,1]
- मानों की सीमा जो यादृच्छिक चर ले सकता है। बीटा वितरण केवल बंद अंतराल \([0,1]\) पर परिभाषित है, जो इसे अनुपात और संभावनाओं के लिए आदर्श बनाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या α या β 1 से कम हो सकते हैं? हाँ — 1 से कम मान U- या J-आकार का वक्र बनाते हैं, जिसमें घनत्व किनारों की ओर तेज़ी से बढ़ता है। ऐसी स्थिति में सीमाओं पर घनत्व असीमित भी हो सकता है।
बीटा वितरण समान (uniform) कब बनता है? जब \(\alpha = \beta = 1\) हो, तब PDF पूरी तरह समतल होता है और [0, 1] पर हर जगह 1 के बराबर रहता है — यानी यह बिल्कुल समान वितरण (uniform distribution) जैसा हो जाता है।
x का मान 0 और 1 के बीच ही क्यों रहना चाहिए? बीटा वितरण का घनत्व [0, 1] के बाहर शून्य होता है, इसलिए इस सीमा से बाहर के मानों के लिए PDF अपरिभाषित रहता है।
