ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने वाला कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

ऋणात्मक संख्या (या कोई भी वास्तविक संख्या)

परिणाम

वर्गमूल

4i

a pure imaginary number (i = √−1)

डाली गई संख्या	-16
√|number|	4
वास्तविक भाग	0
काल्पनिक गुणांक	4

यह कैलकुलेटर क्या करता है

ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल कोई वास्तविक संख्या नहीं होती, लेकिन सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) की दुनिया में इसे एक शुद्ध काल्पनिक मान के रूप में बिल्कुल साफ़ तरीके से परिभाषित किया गया है। यह टूल आपकी डाली हुई किसी भी वास्तविक संख्या का वर्गमूल लौटाता है। अगर संख्या ऋणात्मक है, तो उत्तर \(bi\) रूप में दिया जाता है, जहाँ \(b\) उसके निरपेक्ष मान (absolute value) का वर्गमूल है और \(i\) काल्पनिक इकाई (imaginary unit) है। अगर संख्या शून्य या धनात्मक है, तो आपको सीधा-सादा वास्तविक वर्गमूल ही मिलता है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

इनपुट बॉक्स में कोई संख्या टाइप करें और सबमिट कर दें। उदाहरण के लिए, -16 डालने पर \(4i\) मिलेगा, या -2 डालने पर लगभग \(1.414214i\) मिलेगा। 25 जैसी धनात्मक संख्या डालने पर असली परिणाम 5 आता है।

सूत्र को समझें

किसी भी \(x > 0\) के लिए, ऋणात्मक \(x\) के वर्गमूल को इस तरह तोड़ा जा सकता है: \(x\) का वर्गमूल गुणा -1 का वर्गमूल। चूँकि -1 के वर्गमूल को ही काल्पनिक इकाई \(i\) माना गया है, इसलिए हमें एक सीधा नियम मिलता है:

$$\sqrt{\text{number}} = \sqrt{\left|\text{number}\right|}\;i$$

यह इसलिए सही बैठता है क्योंकि \(i\) का वर्ग -1 के बराबर होता है, यानी \((bi)^2 = b^2 \times (-1)\), जो वापस वही मूल ऋणात्मक संख्या दे देता है।

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किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल काल्पनिक अक्ष पर \(bi\) पर स्थित होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए -16 लेते हैं। इसका निरपेक्ष मान 16 है, और 16 का वर्गमूल 4 है। चूँकि मूल संख्या ऋणात्मक थी, इसलिए उत्तर \(4i\) है। जाँच कीजिए:

$$(4i)^2 = 16 \times i^2 = 16 \times (-1) = -16$$

बिल्कुल सही।

मूल को विभाजित करने पर वास्तविक गुणनखंड गुणा काल्पनिक इकाई \(i\) प्रकट होती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक वर्गमूल क्यों नहीं हो सकता? किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता—वह हमेशा शून्य या धनात्मक होता है। इसलिए कोई भी वास्तविक संख्या वर्ग करने पर ऋणात्मक मान नहीं देती। इसी स्थिति को संभालने के लिए हम काल्पनिक संख्याओं तक अपना दायरा बढ़ाते हैं।

\(i\) क्या है? यह काल्पनिक इकाई है, जिसे \(i^2 = -1\) से परिभाषित किया जाता है। यही सम्मिश्र संख्याओं की बुनियाद है।

अगर मैं धनात्मक संख्या डालूँ तो क्या होगा? तब आपको सामान्य वास्तविक वर्गमूल मिलता है, जिसमें कोई काल्पनिक भाग नहीं होता।