Что делает этот калькулятор
Квадратный корень из отрицательного числа не существует среди вещественных чисел, но прекрасно определён в множестве комплексных чисел — как чисто мнимая величина. Этот инструмент принимает любое введённое вами вещественное число и возвращает его квадратный корень. Если число отрицательное, ответ записывается в виде \(bi\), где \(b\) — квадратный корень из модуля числа, а \(i\) — мнимая единица. Если же число равно нулю или положительно, вы просто получаете обычный вещественный квадратный корень.
Как пользоваться
Введите число в поле ввода и нажмите кнопку. Например, введите −16, чтобы получить \(4i\), или −2 — результат составит примерно \(1.414214i\). Для положительных значений, скажем 25, калькулятор вернёт вещественный результат 5.
Разбор формулы
Для любого \(x\) больше 0 квадратный корень из \(-x\) раскладывается на произведение квадратного корня из \(x\) и квадратного корня из \(-1\). Поскольку квадратный корень из \(-1\) по определению равен мнимой единице \(i\), мы получаем простое правило: корень из \(-x\) равен корню из \(x\), умноженному на \(i\). Это работает потому, что \(i\) в квадрате равно \(-1\), поэтому \((bi)^2 = b^2 \times (-1)\), что и возвращает нам исходное отрицательное число.
$$\sqrt{\text{number}} = \sqrt{\left|\text{number}\right|}\;i$$
Разбор примера
Возьмём −16. Модуль этого числа равен 16, а квадратный корень из 16 — это 4. Так как исходное число было отрицательным, ответ равен \(4i\). Проверим: $$(4i)^2 = 16 \times i^2 = 16 \times (-1) = -16.$$ Всё верно.
Частые вопросы
Почему у отрицательных чисел нет вещественного квадратного корня? Любое вещественное число в квадрате неотрицательно, поэтому ни одно вещественное число не даёт в квадрате отрицательную величину. Чтобы решить эту задачу, мы расширяем числа до мнимых.
Что такое \(i\)? Это мнимая единица, определяемая равенством \(i^2 = -1\). Она служит основой для построения комплексных чисел.
А если ввести положительное число? Вы получите обычный вещественный квадратный корень — без мнимой части.
