सार्थक अंकों में पूर्णांकन क्या है?
सार्थक अंक (significant figures या sig figs) किसी संख्या के वे अंक होते हैं जो उसकी वास्तविक परिशुद्धता बताते हैं। यह कैलकुलेटर आपकी डाली गई किसी भी संख्या को आपके चुने गए सार्थक अंकों तक पूर्णांकित कर देता है। यह पूर्ण संख्याएँ, दशमलव संख्याएँ और वैज्ञानिक संकेतन (scientific notation) को स्वीकार करता है, जैसे 3.5e3, 3.5 x 10^3, या 3.5*10^3। यह आपको दो चीज़ें देता है — पूर्णांकित मान और एक ऐसी प्रस्तुति जो अंतिम सार्थक अंक के ऊपर एक रेखा (overline) लगाकर परिशुद्धता को बिल्कुल स्पष्ट कर देती है।
इसका उपयोग कैसे करें
"पूर्णांकित करें:" वाले बॉक्स में वह संख्या लिखें जिसे आप पूर्णांकित करना चाहते हैं। दूसरे बॉक्स में बताएँ कि आप कितने सार्थक अंक रखना चाहते हैं। फिर "गणना करें" पर क्लिक करें। बड़े अक्षरों में दिखने वाली संख्या आपका पूर्णांकित उत्तर है; और जब भी दशमलव बिंदु के बाएँ अंत में आने वाले शून्य (trailing zeros) सार्थक न हों, तो तालिका में अंतिम सार्थक अंक के ऊपर एक रेखा लगाकर उसे चिह्नित किया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(V\) आपकी डाली गई संख्या है और \(N\) वांछित सार्थक अंकों की संख्या। हम सबसे आगे वाले अंक का परिमाण कोटि (order of magnitude) निकालते हैं: \(d = \lfloor \log_{10}|V| \rfloor\)। पूर्णांकन घात (rounding power) होगी \(p = d - (N - 1)\)। इसके बाद हम $$\text{Rounded} = \operatorname{sign}(V)\cdot\left\lfloor\frac{|V|}{10^{\,p}}+0.5\right\rfloor\cdot 10^{\,p}$$ की गणना करते हैं, जो कि मानक "आधा ऊपर" (round-half-up) नियम है। फिर परिणाम को \(\max(0,\,-p)\) दशमलव स्थानों तक पुनः स्वरूपित किया जाता है ताकि फ़्लोटिंग-पॉइंट से आने वाली छोटी-मोटी त्रुटियाँ हट जाएँ।
हल किया हुआ उदाहरण
305.459 को 5 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करें। यहाँ \(d = \lfloor \log_{10}(305.459) \rfloor = 2\) है, इसलिए \(p = 2 - (5 - 1) = -2\) और \(10^p = 0.01\)। अब $$305.459 / 0.01 = 30545.9$$ $$\lfloor 30545.9 + 0.5 \rfloor = 30546$$ इसे फिर 0.01 से गुणा करने पर मिलता है $$30546 \times 0.01 = 305.46$$ वहीं इसी संख्या को 2 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करें तो वह 310 बनती है, जिसे \(3\,\overline{1}\,0\) के रूप में दिखाया जाता है क्योंकि अंत वाला शून्य सार्थक नहीं है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
एक अंक के ऊपर रेखा क्यों होती है? जब 360 जैसी पूर्ण संख्या में केवल 2 सार्थक अंक रखे जाते हैं, तो अंत वाला शून्य भ्रम पैदा करता है। 6 के ऊपर लगी रेखा यह बताती है कि वही अंतिम सार्थक अंक है।
कौन-सा पूर्णांकन नियम इस्तेमाल होता है? "आधा ऊपर" (round half up): कटाव बिंदु के बाद वाला अंक यदि 5 या उससे अधिक हो तो ऊपर बढ़ा दिया जाता है, अन्यथा उसे हटा दिया जाता है।
999.6 को 3 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर क्या होता है? यह बढ़कर 1000 बन जाता है और एक अतिरिक्त अग्रणी अंक जुड़ जाता है। यह गणितीय रूप से सही है और इसी रूप में दिखाया जाता है।
