द्विघात समीकरण में x का मान निकालने वाला सूत्र कैलकुलेटर

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गुणांक a

गुणांक b

गुणांक c

परिणाम

मूल x₁

2

पहला हल

मूल x₂	1
विविक्तकर (b²−4ac)	1
मूलों की प्रकृति	Two distinct real roots

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल ax² + bx + c = 0 रूप वाले द्विघात समीकरण को चर x के लिए हल करता है। आप बस तीन गुणांक a, b और c डालिए, और कैलकुलेटर आपको दोनों मूल (x₁ और x₂), विविक्तकर (डिस्क्रिमिनेंट) और यह बता देगा कि मूल वास्तविक हैं या सम्मिश्र (कॉम्प्लेक्स)। यह किसी भी वास्तविक गुणांक के साथ काम करता है और एक सार्वभौमिक बीजगणित टूल है, जिस पर कोई क्षेत्रीय बंदिश नहीं है।

इसका उपयोग कैसे करें

x² का गुणांक a में, x का गुणांक b में और अचर पद c में लिखिए। उदाहरण के लिए, समीकरण 2x² − 3x − 5 = 0 में a = 2, b = −3, c = −5 होगा। मूल तुरंत देखने के लिए "Calculate" दबाइए। अगर गलती से आप a = 0 रख देते हैं तो समीकरण अब द्विघात नहीं रहता, इसलिए टूल आसानी से इसे रैखिक स्थिति bx + c = 0 मानकर हल कर देता है।

सूत्र की व्याख्या

द्विघात सूत्र है $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ वर्गमूल के अंदर वाली राशि, \(\Delta = b^{2} - 4ac\), को विविक्तकर (डिस्क्रिमिनेंट) कहते हैं। जब \(\Delta > 0\) हो तो दो अलग-अलग वास्तविक मूल होते हैं; जब \(\Delta = 0\) हो तो एक ही दोहराया हुआ वास्तविक मूल होता है; और जब \(\Delta < 0\) हो तो मूल एक सम्मिश्र संयुग्मी जोड़ी (कॉम्प्लेक्स कॉन्जुगेट) होते हैं, जिन्हें \(p \pm qi\) के रूप में लिखा जाता है।

द्विघात सूत्र के भाग: अंश, मूल के नीचे विविक्तकर और हर 2a।

हल किया हुआ उदाहरण

x² − 3x + 2 = 0 को हल करें (a = 1, b = −3, c = 2)। विविक्तकर है $$(-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ तो $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ जिससे \(x_1 = 2\) और \(x_2 = 1\) मिलते हैं। दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं।

विविक्तकर तय करता है कि परवलय के दो, एक या कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर विविक्तकर ऋणात्मक हो तो? तब समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं होता; इसके बजाय इसके दो सम्मिश्र मूल \(p \pm qi\) के रूप में होते हैं, जिन्हें यह कैलकुलेटर दिखा देता है।

क्या a शून्य हो सकता है? अगर a = 0 हो तो समीकरण द्विघात नहीं बल्कि रैखिक हो जाता है। कैलकुलेटर इसे पहचान लेता है और bx + c = 0 को हल करके \(x = -c/b\) लौटा देता है।

दो मूल क्यों होते हैं? सूत्र में ± चिह्न दो मान देता है; एक परवलय (पैराबोला) आम तौर पर x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है, जो इन्हीं दो हलों के अनुरूप होते हैं।