Решение квадратного уравнения по формуле через дискриминант

Введите расчет

Коэффициент a

Коэффициент b

Коэффициент c

Результатов

Корень x₁

2

первое решение

Корень x₂	1
Дискриминант (b²−4ac)	1
Характер корней	Two distinct real roots

Что умеет этот калькулятор

Инструмент решает квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 относительно переменной x. Введите три коэффициента — a, b и c, — и калькулятор выдаст оба корня (x₁ и x₂), значение дискриминанта, а также подскажет, действительные корни или комплексные. Он работает с любыми действительными коэффициентами и подходит школьникам, студентам и инженерам в любой стране — это универсальный алгебраический инструмент без региональных ограничений.

Как пользоваться

Введите коэффициент при x² как a, коэффициент при x как b, а свободный член — как c. Например, в уравнении 2x² − 3x − 5 = 0 получаем a = 2, b = −3, c = −5. Нажмите «Рассчитать» — корни появятся сразу. Если вы случайно зададите a = 0, уравнение перестаёт быть квадратным, и калькулятор корректно решит линейный случай bx + c = 0.

Разбор формулы

Формула корней квадратного уравнения выглядит так: $$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$ Выражение под знаком корня, \(D = b^{2} - 4ac\), называется дискриминантом. Если \(D > 0\) — уравнение имеет два различных действительных корня; если \(D = 0\) — один (двукратный) действительный корень; а если \(D < 0\) — корни представляют собой пару комплексно-сопряжённых чисел вида \(p \pm qi\).

Части формулы корней квадратного уравнения: числитель, дискриминант под корнем и знаменатель 2a.

Пример с решением

Решим уравнение x² − 3x + 2 = 0 (a = 1, b = −3, c = 2). Дискриминант равен $$(-3)^{2} - 4\cdot1\cdot2 = 9 - 8 = 1.$$ Тогда $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2},$$ откуда \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 1\). Оба корня действительные и различные.

Дискриминант определяет, имеет ли парабола два, один или ни одного действительного корня.

Частые вопросы

Что делать, если дискриминант отрицательный? Действительных решений у уравнения нет — вместо них появляются два комплексных корня вида \(p \pm qi\), которые калькулятор тоже показывает.

Может ли a быть равным нулю? Если a = 0, уравнение становится линейным, а не квадратным. Калькулятор распознаёт это и решает уравнение bx + c = 0, выдавая \(x = -c/b\).

Почему получается два корня? Знак ± в формуле даёт два значения. Геометрически парабола обычно пересекает ось x в двух точках — им и соответствуют два решения.