ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحل هذه الأداة المعادلة التربيعية التي تأخذ الشكل \(ax^2 + bx + c = 0\) لإيجاد قيمة المتغير x. ما عليك سوى إدخال المعاملات الثلاثة a وb وc، لتعرض لك الحاسبة كلا الجذرين (x₁ وx₂)، وقيمة المميِّز، وتخبرك إن كانت الجذور حقيقية أم مركّبة. تعمل مع أي معاملات حقيقية وهي أداة جبر عامة تصلح في أي مكان دون قيود إقليمية.
كيفية الاستخدام
أدخِل معامل x² في الخانة a، ومعامل x في الخانة b، والحد الثابت في الخانة c. على سبيل المثال، المعادلة \(2x^2 - 3x - 5 = 0\) لها a = 2 وb = −3 وc = −5. اضغط على زر الحساب لترى الجذور فورًا. وإذا أدخلت a = 0 بالخطأ فلن تعود المعادلة تربيعية، لذا تتعامل الأداة مع الحالة بذكاء وتحل المعادلة الخطية \(bx + c = 0\) بدلًا من ذلك.
شرح القانون العام
القانون العام للمعادلة التربيعية هو $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ ويُسمّى المقدار الموجود تحت الجذر التربيعي، \(\Delta = b^2 - 4ac\)، بالمميِّز. فعندما يكون \(\Delta > 0\) يوجد جذران حقيقيان مختلفان، وعندما يكون \(\Delta = 0\) يوجد جذر حقيقي واحد مكرر، وعندما يكون \(\Delta < 0\) يكون الجذران زوجًا مترافقًا مركّبًا يُكتب على الصورة \(p \pm qi\).
مثال محلول
لنحل المعادلة \(x^2 - 3x + 2 = 0\) (حيث a = 1 وb = −3 وc = 2). المميِّز يساوي $$(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ إذن $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ ومنها x₁ = 2 وx₂ = 1. وكلا الجذرين حقيقي ومختلف عن الآخر.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المميِّز سالبًا؟ عندئذٍ لا يكون للمعادلة حلول حقيقية، بل يكون لها جذران مركّبان على الصورة \(p \pm qi\)، وتعرضهما هذه الحاسبة.
هل يمكن أن يكون a مساويًا للصفر؟ إذا كان a = 0 تصبح المعادلة خطية وليست تربيعية. تكتشف الحاسبة ذلك وتحل المعادلة \(bx + c = 0\) لتعطيك \(x = -c/b\).
لماذا يوجد جذران؟ تنتج إشارة ± في القانون قيمتين؛ فالقطع المكافئ يقطع محور x عادةً في نقطتين تقابلان هذين الحلّين.
