ما المقصود بالفرق بين مربعين؟
يُعدّ الفرق بين مربعين من أشهر المتطابقات الجبرية وأكثرها فائدة. فمهما كان العددان a وb، يمكن دائمًا تحليل المقدار \(a^2 - b^2\) إلى حاصل الضرب \((a + b)(a - b)\). تحسب هذه الأداة الناتج العددي وتعرض في الوقت نفسه الصيغة المحلَّلة، مما يجعلها مثالية لمراجعة الواجبات المدرسية، وتحليل كثيرات الحدود، وإتقان حِيَل الحساب الذهني السريع.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل القيمة الأولى a ثم القيمة الثانية b، وتقوم الأداة تلقائيًا بحساب \(a^2\) و \(b^2\) والفرق بينهما، إضافة إلى العاملين \((a + b)\) و\((a - b)\). ويمكن أن تكون القيم أعدادًا صحيحة أو عشرية أو حتى سالبة.
شرح المتطابقة
تنشأ هذه المتطابقة من فكّ حاصل الضرب على النحو التالي: $$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2.$$ لاحظ أن الحدّين الأوسطين يُلغي أحدهما الآخر، فلا يتبقى سوى \(a^2 - b^2\). ولأن هذه القاعدة تصحّ مع أي زوج من الأعداد، فإنها توفّر طريقة سريعة لتحليل أي مقدار يأخذ صيغة (شيء)² − (شيء آخر)².
مثال محلول
لنفترض أن \(a = 7\) و \(b = 3\)؛ عندئذٍ \(a^2 = 49\) و \(b^2 = 9\)، ومن ثَمّ يكون \(a^2 - b^2 = 40\). وبتطبيق الصيغة المحلَّلة: $$(7 + 3)(7 - 3) = 10 \times 4 = 40.$$ تتفق النتيجتان معًا، وهذا يؤكّد صحة المتطابقة.
الأسئلة الشائعة
هل تعمل مع الأعداد العشرية والسالبة؟ نعم، فالمتطابقة صحيحة لجميع الأعداد الحقيقية، لذا تُعالَج تعبيرات مثل \(5.5^2 - 2.5^2\) أو \((-4)^2 - 2^2\) بشكل صحيح.
ماذا لو كان a يساوي b؟ في هذه الحالة يكون \(a^2 - b^2 = 0\)، لأن أحد العاملين وهو \((a - b)\) يصبح صفرًا.
ما فائدة هذه المتطابقة؟ إنها تُسرّع عمليات الضرب (مثل \(53 \times 47 = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491\))، كما أنها ضرورية لتحليل المقادير التربيعية.
