平方差计算器

输入计算

第一个数 (a)

第二个数 (b)

结果

a² − b²

40

= (a + b)(a − b)

a²	49
b²	9
a + b	10
a − b	4

什么是平方差？

平方差是代数中最重要的恒等式之一。对于任意两个数 a 和 b，表达式 \(a^2 - b^2\) 都可以因式分解为乘积 \((a + b)(a - b)\)。本计算器既能给出数值结果，又能展示因式分解的形式，非常适合用来检查作业、对多项式进行因式分解，以及掌握心算技巧。

平方差就是从大的 a×a 正方形中去掉小的 b×b 正方形后剩下的面积。

如何使用本计算器

输入第一个数 a 和第二个数 b，工具会自动计算 \(a^2\)、\(b^2\)、二者之差，以及两个因式 \((a + b)\) 和 \((a - b)\)。输入的数值可以是整数、小数或负数。

公式原理

这个恒等式来自将乘积展开： $$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$$ 中间的两项相互抵消，只剩下 \(a^2 - b^2\)。由于对任意一对数都成立，它为我们提供了一种快速方法，可以把任何形如「(某个数)² − (另一个数)²」的表达式进行因式分解。

把 L 形面积重新拼接成一个 (a + b) 乘 (a − b) 的矩形,从而证明 a² − b² = (a + b)(a − b)。

实例演算

设 \(a = 7\)，\(b = 3\)。那么 \(a^2 = 49\)，\(b^2 = 9\)，所以 \(a^2 - b^2 = 40\)。改用因式分解形式： $$(7 + 3)(7 - 3) = 10 \times 4 = 40$$ 两种算法结果一致，验证了这一恒等式。

常见问题

小数和负数也适用吗？ 适用。该恒等式对所有实数都成立，因此 \(5.5^2 - 2.5^2\) 或 \((-4)^2 - 2^2\) 都能正确计算。

如果 a 等于 b 会怎样？ 此时 \(a^2 - b^2 = 0\)，因为其中一个因式 \((a - b)\) 变成了 0。

它有什么用处？ 它能加快乘法运算（例如 \(53 \times 47 = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491\)），并且是因式分解二次表达式的关键工具。