Что такое разность квадратов?
Разность квадратов — одна из важнейших формул сокращённого умножения. Для любых двух чисел a и b выражение \(a^2 - b^2\) всегда раскладывается на произведение \((a + b)(a - b)\). Этот калькулятор и считает числовой результат, и показывает разложение на множители, поэтому он удобен для проверки домашних заданий, разложения многочленов и быстрого устного счёта.
Как пользоваться калькулятором
Введите первое значение a и второе значение b. Инструмент вычислит \(a^2\), \(b^2\), их разность и оба множителя — \((a + b)\) и \((a - b)\). В качестве значений можно использовать целые числа, десятичные дроби и отрицательные числа.
Разбираем формулу
Эта формула получается при раскрытии скобок: $$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$$ Два средних слагаемых взаимно уничтожаются, и остаётся только \(a^2 - b^2\). Поскольку это справедливо для любой пары чисел, формула даёт быстрый способ разложить на множители любое выражение вида (что-то)² − (что-то другое)².
Пример решения
Пусть \(a = 7\) и \(b = 3\). Тогда \(a^2 = 49\), а \(b^2 = 9\), поэтому \(a^2 - b^2 = 40\). Через разложение на множители: $$(7 + 3)(7 - 3) = 10 \times 4 = 40$$ Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает формулу.
Часто задаваемые вопросы
Работает ли это с десятичными дробями и отрицательными числами? Да. Формула верна для всех действительных чисел, поэтому \(5{,}5^2 - 2{,}5^2\) или \((-4)^2 - 2^2\) вычисляются корректно.
Что будет, если a равно b? Тогда \(a^2 - b^2 = 0\), потому что один из множителей \((a - b)\) обращается в ноль.
Чем это полезно? Формула ускоряет умножение (например, \(53 \times 47 = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491\)) и незаменима при разложении квадратных выражений на множители.
