平方差計算機

輸入計算

第一個數值 (a)

第二個數值 (b)

結果

a² − b²

40

= (a + b)(a − b)

a²	49
b²	9
a + b	10
a − b	4

什麼是平方差？

平方差是代數中最重要的恆等式之一。對於任意兩個數 a 與 b，式子 \(a^2 - b^2\) 都可以分解成乘積 \((a + b)(a - b)\)。這個計算機會同時算出數值結果並顯示因式分解的形式，無論是檢查作業、進行多項式因式分解，還是運用心算技巧，都非常實用。

平方差就是從大的 a×a 正方形中去掉小的 b×b 正方形後剩下的面積。

如何使用本計算機

輸入第一個數值 a 與第二個數值 b，工具便會計算出 \(a^2\)、\(b^2\)、兩者的差，以及 \((a + b)\) 和 \((a - b)\) 兩個因式。數值可以是整數、小數或負數。

公式原理說明

這個恆等式來自乘積的展開：$$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$$中間兩項剛好抵消，只留下 \(a^2 - b^2\)。由於它對每一組數都成立，因此能快速分解任何形如「（某數）² −（另一數）²」的算式。

把 L 形面積重新拼接成一個 (a + b) 乘 (a − b) 的矩形,從而證明 \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)。

實際範例

設 \(a = 7\)、\(b = 3\)。則 \(a^2 = 49\)、\(b^2 = 9\)，所以 \(a^2 - b^2 = 40\)。改用因式分解的形式：$$(7 + 3)(7 - 3) = 10 \times 4 = 40$$兩種算法結果一致，驗證了這個恆等式。

常見問題

可以用小數和負數嗎？可以。這個恆等式對所有實數都成立，因此像 \(5.5^2 - 2.5^2\) 或 \((-4)^2 - 2^2\) 都能正確計算。

如果 a 等於 b 會怎樣？那麼 \(a^2 - b^2 = 0\)，因為其中一個因式 \((a - b)\) 會變成 0。

這有什麼用處？它能加快乘法運算（例如 \(53 \times 47 = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491\)），也是分解二次式時不可或缺的技巧。