弧の長さとは？
弧の長さとは、円周上の2点間を、円の曲線に沿って測った距離のことです。この長さは「円の大きさ（半径）」と「切り取る範囲の広さ（中心角）」という2つの要素によって決まります。この計算機はあらゆる円と角度に対応しており、入力した半径と同じ単位で弧の長さを返します。
この計算機の使い方
円の半径と、弧が張る中心角を入力します。角度の単位を「度（degree）」か「ラジアン」から選び、表示される弧の長さを確認してください。もう一方の単位に換算した角度、円周全体の長さ、そして弧の両端を結ぶ直線である弦の長さも併せて表示されます。
公式の解説
角度 \(\theta\) がラジアンの場合、弧の長さは次のシンプルな式で求められます。
$$s = r \times \theta$$
これは、ラジアンが「半径と同じ長さの弧を切り取る角度」として定義されているためです。角度が度の場合は、弧を円全体に対する割合として捉えて換算します。すなわち次のとおりです。
$$s = 2\pi r \times \left(\frac{\theta^\circ}{360}\right)$$
\(360^\circ = 2\pi\) ラジアンであるため、どちらの式でも同じ答えになります。
計算例
半径が 5、中心角が 90° の円を考えてみましょう。円周全体は \(2\pi \times 5 \approx 31.4159\) です。90° は円全体の4分の1にあたるので、弧の長さは次のようになります。
$$31.4159 \times \left(\frac{90}{360}\right) = 7.85398$$
これをラジアンで考えると、\(90^\circ = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708\) ラジアンであり、\(5 \times 1.5708 = 7.85398\) と、まったく同じ値になります。
標準角度の一般的な弧長
円の弧長は公式 \(L = r\theta\) で求められます。ここで \(\theta\) は ラジアン 単位の中心角です。角度が度数法の場合は、まず \(\theta_{rad} = \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}\) で変換してください。完全な円（360°）は円周 \(2\pi r\) を持つので、各角度は円周の単純な分数をカバーします。
以下の表は最も一般的な角度、ラジアン単位での等価値、円周の分数として表された弧長、および単位円（\(r=1\)）での実際の弧長を一覧にしています。
| 角度（度数法） | 角度（ラジアン） | 円の分数 | 弧長（一般） | 弧長、r = 1 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 | \(\pi r/6\) | 0.5236 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 | \(\pi r/4\) | 0.7854 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 | \(\pi r/3\) | 1.0472 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 | \(\pi r/2\) | 1.5708 |
| 120° | \(2\pi/3\) | 1/3 | \(2\pi r/3\) | 2.0944 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 | \(\pi r\) | 3.1416 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 3/4 | \(3\pi r/2\) | 4.7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 1（完全な円） | \(2\pi r\) | 6.2832 |
他の半径の場合は、\(r=1\) の値に半径を乗じます。たとえば、半径5の円上の90°の弧の長さは \(5 \times 1.5708 = 7.854\) です。
よくある質問
答えの単位は何になりますか？ 弧の長さは、入力した半径と同じ単位で出力されます。半径をセンチメートルで入力すれば、結果もセンチメートルです。
度からラジアンへはどう換算しますか？ 度の値に \(\frac{\pi}{180}\) を掛けます。たとえば \(180^\circ = \pi \approx 3.14159\) ラジアンです。
弦の長さとは何ですか？ 弦とは、弧の両端を結ぶ直線のことで、\(2r \cdot \sin(\theta/2)\) で計算します。弦は常に弧よりも短くなります。
