ベータ分布計算ツール

平均	0.285714
分散	0.02551
標準偏差	0.159719
最頻値	0.2

ベータ分布とは？

ベータ分布は、区間[0, 1]上で定義される連続確率分布で、2つの正の形状パラメータα（アルファ）とβ（ベータ）によって形が決まります。値が0から1の範囲に収まるため、割合・確率・パーセンテージ・比率といった量をモデル化するのに最適です。たとえばコンバージョン率、打率、あるいはベイズ推論における未知の成功確率などが代表例です（ベータ分布は二項分布の共役事前分布として知られています）。

区間0から1における、異なる形状パラメータを持つ複数のベータ分布の確率密度曲線 — ベータ分布は[0,1]上に定義され、αとβで形が変わります。

この計算ツールの使い方

2つの形状パラメータαとβ（どちらも0より大きい値）と、0以上1以下のxの値を入力してください。ツールはその点における確率密度f(x)に加え、分布の平均・分散・標準偏差・最頻値を返します。αが大きいほど分布の重心は1側に寄り、βが大きいほど0側に寄ります。αとβが等しい場合は0.5を中心に左右対称の形になります。

計算式の解説

平均は $\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$、分散は $\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}$ で表されます。確率密度は

$$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)}$$

で、ここで $B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$ はベータ関数です。この関数によって曲線が正規化され、全体の面積が1になります。最頻値（ピーク）は、αとβがともに1より大きいとき $\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ に存在します。

ベータ分布PDFの式の構成要素を示す図 — 密度はx^(α−1)、(1−x)^(β−1)、正規化用のベータ関数B(α,β)を組み合わせます。

計算例

α = 2、β = 5、x = 0.5 とします。平均は $\frac{2}{7} \approx 0.2857$ です。分散は

$$\sigma^2 = \frac{2\cdot 5}{(7^2)(8)} = \frac{10}{392} \approx 0.02551$$

となります。$B(2, 5) = \frac{1}{30}$ を用いると、確率密度は

$$f(0.5) = 0.5^1\cdot 0.5^4 \cdot 30 = 0.5^5 \cdot 30 = 0.03125 \cdot 30 = 0.9375$$

です。

形状パラメータが分布をどのように変化させるか

ベータ分布は区間 $[0,1]$ に存在し、その全体的な形状は2つの正の形状パラメータ $\alpha$ と $\beta$ によって制御されます。平均は常に $\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$、分散は $\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$、最頻値（$\alpha,\beta>1$ のとき）は $\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ です。以下の表は、いくつかの古典的なパラメータの組み合わせを示しています。

(α, β)	形状	平均 = α/(α+β)	最頻値	分散
(1, 1)	[0,1]上の均一分布（平坦）	0.5	なし（平坦）	0.0833
(0.5, 0.5)	U字形（両端に質量、アークサイン分布）	0.5	0と1（対モード）	0.1250
(2, 2)	対称なベル、中心でピーク	0.5	0.5	0.0500
(5, 5)	より厳密な対称ベル	0.5	0.5	0.0227
(2, 5)	右に歪んだ分布（質量が0に向かう）	0.2857	0.2	0.0255
(5, 2)	左に歪んだ分布（質量が1に向かう）	0.7143	0.8	0.0255

2つのパターンが目立ちます。第1に、$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えると、分布が $x=0.5$ を中心に鏡対称になります。したがって、(2,5)と(5,2)は同じ形と分散を持ちますが、歪みは反対です。第2に、比率を固定したまま両方のパラメータを増加させる場合（例えば(2,2) $\to$ (5,5)）、平均は0.5のままですが、分散は縮小し、曲線は平均を中心に更にぎっしり集中します。

ベータ分布の結果の解釈

ベータ分布は $[0,1]$ でサポートされているため、未知の割合、確率または比率の自然なモデルです。各要約統計量は異なる質問に答えます：

平均 $\mu=\alpha/(\alpha+\beta)$ は期待される割合です。これは基礎となる確率の最適な単一数値推定です。
最頻値 $(\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)$ は最も可能性の高い値です。すなわち、密度のピークの位置です。これは、$\alpha>1$ かつ $\beta>1$ のときのみ内部ピークとして存在します。そうでない場合、質量はエンドポイントに集まります。
分散と標準偏差は広がりを測定します。すなわち、割合に関してどの程度の不確実性が残っているかです。小さい標準偏差は、真の値が平均の近くにあることに確信を持っていることを意味します。

量 $\alpha+\beta$ は標本サイズまたは集中度のように機能します。これが大きいほど、分散は小さくなり、密度は平均の周りにより鋭く集中します。2つの分布は同じ平均を共有できますが、確実性は大きく異なります。Beta(2,2)とBeta(50,50)は両方とも0.5を中心にしていますが、後者ははるかに狭いです。

ベイズ推定では、ベータ分布は二項（ベルヌーイ）尤度の共役事前分布です。事前分布Beta($\alpha_0,\beta_0$)で開始し、$s$回の成功と$f$回の失敗を観察する場合、事後分布は単純にBeta($\alpha_0+s,\ \beta_0+f$)です。均一なBeta(1,1)事前分布では、$\alpha$ は実質的に成功$+1$をカウントし、$\beta$ は失敗$+1$をカウントします。事後平均 $(s+1)/(s+f+2)$ は古典的なラプラスの継承則です。

最後に、$f(x)$ は確率密度であり、確率ではないことを覚えてください。その値は1を超える可能性があります（例えば、ぎっしり集中したベータ分布のピークの近くで）。そして、2つのポイント間の曲線下の面積だけが実際の確率を与え、決して単一のポイントでの高さではありません。$[0,1]$ 全体の総面積は常に1に等しいです。

定義と用語集

α（アルファ）: 最初の形状パラメータ、$\alpha>0$。大まかに言えば、「成功」の重みを表します。より大きな$\alpha$ は質量を1に向かわせます。
β（ベータ）: 2番目の形状パラメータ、$\beta>0$。大まかに言えば、「失敗」の重みを表します。より大きな$\beta$ は質量を0に向かわせます。
PDFの確率密度関数f(x): 確率密度関数、$f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ for $0\le x\le 1$。相対的な尤度を説明します。確率はその下の面積です。
ベータ関数B(α,β): 正規化定数、$B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$。それで割ると、密度が1に積分されます。
ガンマ関数Γ: 階乗の連続拡張、正の整数に対して$\Gamma(n)=(n-1)!$、一般的には$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt$ で定義されます。上記のベータ関数とガンマ関数をリンクしています。
平均: 期待値、$\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ — 長期的な平均割合。
分散: 広がりの測定、$\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$。
標準偏差: 分散の平方根、$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$。$x$ と同じ単位で表現されます。
最頻値: 最も可能性の高い値（密度のピーク）、$\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ （$\alpha>1$ かつ $\beta>1$ のとき）。
共役事前分布: 与えられた尤度と組み合わせると、同じファミリーで事後分布をもたらす事前分布。ベータ分布は二項/ベルヌーイ尤度の共役事前分布です。
サポート[0,1]: 確率変数が取ることができる値の範囲。ベータ分布は閉区間 $[0,1]$ 上でのみ定義されており、割合と確率に最適です。