45-45-90 삼각형이란?
45-45-90 삼각형은 세 각이 각각 45°, 45°, 90°인 특별한 직각삼각형입니다. 직각이 아닌 두 각의 크기가 같기 때문에 직각이등변삼각형이기도 하며, 직각을 이루는 두 변(밑변)의 길이가 서로 같습니다. 빗변은 90° 각의 맞은편에 있는 가장 긴 변입니다. 이 계산기는 빗변 길이를 이미 알고 있을 때 각 변의 길이를 구해 줍니다.
계산기 사용 방법
빗변의 길이를 원하는 단위(cm, 인치, 미터 등)로 입력하세요. 입력한 단위 그대로 결과가 나옵니다. 입력하는 즉시 같은 길이의 두 변, 그리고 삼각형의 넓이와 둘레를 함께 보여 줍니다. 두 변의 길이는 같으므로 하나의 값이 양쪽 변 모두에 적용됩니다.
공식 풀이
45-45-90 삼각형에서 세 변의 비율은 항상 1 : 1 : √2 입니다. 변의 길이를 \(a\)라고 하면 빗변은 \(a\sqrt{2}\) 가 됩니다. 이를 정리하면 빗변 \(c\)로부터 변의 길이를 바로 구할 수 있습니다.
변 = c / √2 이며, 분모를 유리화하면 변 = c·√2 / 2 로도 쓸 수 있습니다.
$$a = \dfrac{c}{\sqrt{2}} = \dfrac{c\sqrt{2}}{2}$$넓이는 A = 변² / 2, 둘레는 2·변 + c 입니다.
$$A = \dfrac{a^2}{2}$$
예제로 보기
빗변이 10이라고 가정해 봅시다. 그러면 변 = 10 / √2 ≈ 10 / 1.41421 ≈ 7.0711 입니다.
$$\text{변} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} \approx \dfrac{10}{1.41421} \approx 7.0711$$넓이는 7.0711² / 2 ≈ 50 / 2 = 25 이고, 둘레는 2 × 7.0711 + 10 ≈ 24.1421 입니다.
$$A = \dfrac{7.0711^2}{2} \approx \dfrac{50}{2} = 25$$$$2 \times 7.0711 + 10 \approx 24.1421$$공통 빗변 값에 대한 다리 길이
45-45-90 직각 이등변삼각형에서, 두 다리는 같으며 각각은 빗변으로부터 \(\text{다리} = \frac{c}{\sqrt{2}}\)를 사용하여 구합니다. 다리를 알면, 넓이는 \(\frac{\text{다리}^2}{2}\)이고 둘레는 \(2\,\text{다리} + c\)입니다. 아래 표는 여러 공통 빗변 값에 이러한 공식을 적용하며, 결과는 소수점 이하 두 자리로 반올림됩니다.
| 빗변 \(c\) | 다리 \(= c/\sqrt{2}\) | 넓이 \(= \text{다리}^2/2\) | 둘레 \(= 2\,\text{다리} + c\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.71 | 0.25 | 2.41 |
| 2 | 1.41 | 1.00 | 4.83 |
| 5 | 3.54 | 6.25 | 12.07 |
| 10 | 7.07 | 25.00 | 24.14 |
| 14.14 | 10.00 | 50.00 | 34.14 |
| 20 | 14.14 | 100.00 | 48.28 |
| 100 | 70.71 | 2500.00 | 241.42 |
빗변이 약 14.14(이는 \(10\sqrt{2}\)와 같음)일 때, 다리가 정확히 10이 나오며, 이는 \(\sqrt{2}\) 인수가 다리와 빗변을 어떻게 연결하는지 보여줍니다. 각 다리는 대략 빗변의 70.7%이므로, 빗변을 두 배로 늘리면 다리도 두 배로 늘어나고 넓이는 4배가 됩니다.
자주 묻는 질문
두 변의 길이가 정말 같나요? 네. 두 예각이 모두 45°이므로 그 맞은편 변의 길이도 같아져 이등변삼각형이 됩니다.
왜 √2를 곱하지 않고 나누나요? 빗변은 가장 긴 변으로 변의 길이에 √2를 곱한 값입니다. 따라서 빗변에서 변 길이를 거꾸로 구하려면 √2로 나눠야 합니다.
단위가 결과에 영향을 주나요? 아니요. 이 계산은 순수한 비율 계산이므로, 빗변에 입력한 단위 그대로 변 길이가 나옵니다.
