등차수열의 합 계산기란?
등차수열이란 이웃한 두 항의 차이가 항상 일정한 수열로, 그 일정한 차이를 공차라고 합니다. 등차수열의 합(등차급수)은 이러한 수열의 항들을 모두 더한 값을 뜻합니다. 이 계산기는 첫째항, 공차, 그리고 더하고 싶은 항의 개수만 입력하면 처음 n개 항의 합을 한 번에 구해 줍니다.
사용 방법
첫째항 a₁, 공차 d(증가하는 수열이면 양수, 감소하는 수열이면 음수), 항의 개수 n을 입력하세요. 계산기는 전체 합 Sₙ, 마지막 항 aₙ, 그리고 더한 항의 개수를 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
등차수열의 합은 다음 공식으로 구합니다.
$$S_n = \frac{n}{2}\left(2\,a_1 + \left(n - 1\right)d\right)$$
이 공식의 원리는 간단합니다. 첫째항과 마지막 항을 짝지으면 그 합이 항상 일정하고, 이런 짝이 모두 \(n/2\)개 만들어지기 때문입니다. 마지막 항은 \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)이므로, 같은 결과를 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) 형태로도 나타낼 수 있습니다.
예제로 익히기
\(a_1 = 2\), \(d = 3\), \(n = 5\)라고 해 봅시다. 각 항은 2, 5, 8, 11, 14입니다. 공식에 대입하면 $$S_n = \frac{5}{2}\left(2\cdot 2 + (5-1)\cdot 3\right) = 2.5 \cdot (4 + 12) = 2.5 \cdot 16 = 40$$입니다. 직접 더해 봐도 \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\)으로 결과가 일치합니다. ✔
더 많은 풀이 예제
등차급수 합의 두 동등한 형태는:
$$S_n = \frac{n}{2}\bigl(2a_1 + (n-1)d\bigr) \qquad\text{그리고}\qquad S_n = \frac{n}{2}\bigl(a_1 + a_n\bigr)$$두 번째 형태는 마지막 항 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)을 이미 알고 있거나 먼저 계산한 경우 편리합니다.
예제 1 — 음수 d인 감소 급수
급수가 \(a_1 = 40\)에서 시작하고, 각 단계마다 \(d = -3\)씩 감소하며, \(n = 10\)개의 항을 가집니다.
$$S_{10} = \frac{10}{2}\bigl(2(40) + (10-1)(-3)\bigr)$$$$= 5\bigl(80 + 9(-3)\bigr) = 5(80 - 27) = 5(53) = \;$$합은 265입니다. (10번째 항은 \(a_{10} = 40 + 9(-3) = 13\)이므로, 항들은 40, 37, 34, … , 13입니다.)
예제 2 — 큰 n인 경우
\(a_1 = 5\)이고 \(d = 4\)인 급수의 첫 \(n = 100\)개 항을 합산합니다.
$$S_{100} = \frac{100}{2}\bigl(2(5) + (100-1)(4)\bigr)$$$$= 50\bigl(10 + 99(4)\bigr) = 50(10 + 396) = 50(406) = \;$$합은 20300입니다.
예제 3 — \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) 형태 사용
급수가 \(a_1 = 7\), \(d = 5\), \(n = 20\)을 가집니다. 먼저 마지막 항을 구합니다:
$$a_{20} = a_1 + (n-1)d = 7 + (20-1)(5) = 7 + 95 = 102$$그 다음 양 끝의 평균 형태를 적용합니다:
$$S_{20} = \frac{20}{2}\bigl(a_1 + a_{20}\bigr) = 10(7 + 102) = 10(109) = \;$$합은 1090입니다. 이는 전개된 형태 \(\frac{20}{2}(2\cdot7 + 19\cdot5) = 10(14 + 95) = 1090\)과 일치합니다.
자주 묻는 질문
d가 0이면 어떻게 되나요? 모든 항이 \(a_1\)과 같으므로 합은 단순히 \(n \times a_1\)이 됩니다.
d가 음수여도 되나요? 네, 됩니다. 공차가 음수이면 점점 줄어드는 수열이 되며, 이 경우에도 공식은 그대로 정확하게 적용됩니다.
수열과 급수는 어떻게 다른가요? 수열은 순서대로 나열한 수의 목록이고, 급수는 그 수들을 모두 더한 합을 말합니다.
