이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 0 이상의 정수를 9로 나눈 뒤 정확한 몫과 나머지를 보여 줍니다. 더 흥미로운 점은, 긴 나눗셈 대신 오로지 자릿수를 더하는 방법만으로 9로 나누는, 인도식(베다 수학) 암산 지름길을 그대로 보여 준다는 것입니다. 나누는 수(제수)는 9로 고정되어 있습니다.
사용 방법
나누고 싶은 수를 "수 (문제)" 칸에 입력하세요. 옆에 붙은 "÷ 9"는 고정값입니다. 계산 버튼을 누르면 몫과 나머지, 그리고 자릿수 합을 이용해 나머지를 검산하는 '9 버리기(casting out nines)' 결과까지 함께 나옵니다.
공식과 트릭의 원리
정확한 결과는 단순한 정수 나눗셈입니다.
$$q = \left\lfloor \frac{N}{9} \right\rfloor, \qquad r = N - 9\,q$$여기서 \(N = \left\lfloor \left| \text{Number} \right| \right\rfloor\)이며, 나머지는 항상 0부터 8 사이에 들어옵니다.
"덧셈 트릭"이 통하는 이유는 10을 9로 나누면 나머지가 1이고, 100, 1000을 비롯한 모든 10의 거듭제곱도 마찬가지이기 때문입니다. 즉 어떤 수는 9를 기준으로(법 9에서) 자기 자릿수들의 합과 합동입니다. 따라서 N을 9로 나눈 나머지는 N의 자릿수 합을 9로 나눈 나머지와 같으며, 자릿수만 더하면 머릿속으로 곧바로 알 수 있습니다. 몫을 한 자리씩 구할 때는 자릿수를 누적해서 더해 나가고, 누적 합이 9 이상이 될 때마다 10 단위를 왼쪽으로 올려 줍니다.
풀이 예시
N = 1234를 봅시다. 자릿수 합 = \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\)이고, \(10 \bmod 9 = 1\)이므로 나머지는 1입니다. 몫은 \(\left\lfloor 1234 / 9 \right\rfloor = 137\)인데, \(9 \times 137 = 1233\)이고 \(1234 - 1233 = 1\)이기 때문입니다. 결과: 몫 137, 나머지 1.
자주 묻는 질문
왜 자릿수 합 트릭이 나머지를 알려 주나요? 10의 모든 거듭제곱이 법 9에서 1과 합동이기 때문에, 그 수 전체가 법 9에서 자릿수 합으로 줄어듭니다. 수백 년 전부터 쓰여 온 "9 버리기(casting out nines)" 원리입니다.
수가 9보다 작으면 어떻게 되나요? 그러면 몫은 0이 되고 나머지는 그 수 자체가 됩니다(예: 5는 몫 0, 나머지 5).
음수도 쓸 수 있나요? 아니요. 이 트릭은 0 이상의 정수에서만 정의됩니다. 계산기는 입력값의 절댓값을 취한 뒤 그 정수 부분을 사용합니다.
