Что такое машина Атвуда?
Машина Атвуда — это классическая физическая установка из двух грузов, соединённых нерастяжимой нитью, переброшенной через блок. В идеальном варианте, где блок и нить считаются невесомыми, а трение отсутствует, более тяжёлый груз движется вниз, а лёгкий поднимается вверх с тем же по модулю ускорением. Это один из самых наглядных способов продемонстрировать второй закон Ньютона и измерить ускорение свободного падения в лаборатории.
Как пользоваться калькулятором
Введите две массы в килограммах и местное ускорение свободного падения (значение по умолчанию 9,81 м/с² соответствует стандартной силе тяжести на Земле). Калькулятор вычислит модуль ускорения, общий для обоих грузов, и силу натяжения соединяющей их нити. Если массы равны, система уравновешена и ускорение равно нулю.
Разбор формулы
Запишем второй закон Ньютона для каждого груза и объединим оба уравнения. Движущая сила — это разница весов \((\text{m}_1 - \text{m}_2) \cdot \text{g}\), а ускоряемая инерция складывается из обеих масс \((\text{m}_1 + \text{m}_2)\). В результате получаем:
$$a = \frac{\left| \text{m}_1 - \text{m}_2 \right| \cdot \text{g}}{\text{m}_1 + \text{m}_2}$$
Подставив ускорение обратно в уравнение для любого из грузов, находим силу натяжения нити:
$$T = \frac{2 \cdot \text{m}_1 \cdot \text{m}_2 \cdot \text{g}}{\text{m}_1 + \text{m}_2}$$
Эта сила одинакова по всей длине идеальной нити и всегда лежит между весами двух грузов.
Пример расчёта
Пусть \(\text{m}_1 = 5\) кг, \(\text{m}_2 = 3\) кг и \(\text{g} = 9{,}81\) м/с². Тогда ускорение равно $$a = \frac{(5 - 3) \cdot 9{,}81}{5 + 3} = \frac{2 \cdot 9{,}81}{8} = 2{,}4525 \text{ м/с}^2.$$ Сила натяжения составит $$T = \frac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9{,}81}{8} = \frac{294{,}3}{8} = 36{,}7875 \text{ Н}.$$ Таким образом, оба груза движутся с ускорением около 2,45 м/с², а нить натянута силой примерно 36,8 Н.
Частые вопросы
Что будет, если массы равны? Ускорение равно нулю, а сила натяжения равна весу каждого груза \((\text{m} \cdot \text{g})\). Система остаётся в равновесии.
Учитывает ли калькулятор массу блока и трение? Нет — он рассчитывает идеальную машину Атвуда. Реальный блок с массой или трением немного уменьшил бы ускорение.
Почему сила натяжения всегда находится между весами грузов? Потому что нить должна разгонять лёгкий груз вверх (поэтому \(T > \text{m}_2 \cdot \text{g}\)) и при этом давать тяжёлому грузу опускаться (поэтому \(T < \text{m}_1 \cdot \text{g}\)).
Константы и справочные значения
Значение \(g\), которое вы вводите, задает напряженность гравитационного поля. Международно определенная стандартная гравитация составляет \(g_0 = 9.80665\ \text{м/с}^2\), почти всегда округляется до \(9.81\ \text{м/с}^2\) в задачах по физике. Значение на поверхности Земли незначительно варьируется в зависимости от широты и высоты, а на других небесных телах гравитация совсем другая.
| Местоположение / небесное тело | g (м/с²) | Примечание |
|---|---|---|
| Стандартная гравитация (g₀) | 9.80665 | Определенное эталонное значение |
| Типичное значение в учебнике | 9.81 | Округленная стандартная гравитация |
| Земной экватор (уровень моря) | ≈ 9.78 | Немного слабее (выпуклость Земли + вращение) |
| Земные полюсы (уровень моря) | ≈ 9.83 | Немного сильнее |
| Луна | ≈ 1.62 | Примерно 1/6 земной гравитации |
| Марс | ≈ 3.71 | Примерно 3/8 земной гравитации |
Для большинства домашних заданий и лабораторных работ используйте \(g = 9.81\ \text{м/с}^2\). Используйте значение, специфичное для конкретного небесного тела (Луна, Марс) только если задача явно разворачивается там.
Определения и глоссарий
- m1 (кг)
- Первая из двух подвешенных масс. В этом калькуляторе условно это более тяжелая (опускающаяся) масса, но абсолютное значение в формуле означает, что порядок не влияет на результат.
- m2 (кг)
- Вторая подвешенная масса на другом конце шнура. Более легкая масса ускоряется вверх, а более тяжелая ускоряется вниз.
- a (м/с²)
- Величина общего ускорения. Поскольку шнур нерастяжим, обе массы движутся с одинаковой скоростью и ускорением в каждый момент времени — одна вверх, другая вниз.
- T (Н)
- Натяжение шнура, сила натяжения, передаваемая вдоль шнура. В идеальной машине Атвуда натяжение одинаково с обеих сторон и находится между двумя весами.
- g (м/с²)
- Местное гравитационное ускорение, которое придает каждой массе ее вес \(W = mg\). На Земле обычно \(9.81\ \text{м/с}^2\).
- Нерастяжимый, невесомый шнур
- Идеализированный шнур, который не растягивается (поэтому обе массы имеют одно ускорение) и не имеет собственной массы (поэтому натяжение одинаково везде). Реальные шнуры приближаются к этому, если они легкие и жесткие.
- Безфрикционный, невесомый блок
- Идеализированный блок, который не добавляет вращательную инерцию и не имеет трения на своей оси, поэтому он просто перенаправляет шнур без изменения натяжения. Именно это позволяет иметь одинаковое \(T\) с обеих сторон.
