애트우드 기계 계산기

줄의 장력	36.7875 N

애트우드 기계란?

애트우드 기계는 도르래에 걸린 늘어나지 않는 줄로 두 개의 질량을 연결한 고전 물리 실험 장치입니다. 도르래와 줄의 질량을 무시하고 마찰도 없는 이상적인 경우, 무거운 쪽은 아래로 내려가고 가벼운 쪽은 같은 크기의 가속도로 위로 올라갑니다. 뉴턴의 제2법칙을 가장 단순하게 보여 주는 동시에, 실험실에서 중력 가속도를 측정하는 데에도 자주 쓰입니다.

도르래에 두 질량이 걸린 애트우드 기계 도해 — 애트우드 기계: 마찰 없는 도르래에 줄로 연결된 두 질량.

계산기 사용법

두 질량을 킬로그램(kg) 단위로 입력하고, 현지 중력 가속도를 넣으면 됩니다(기본값 9.81 m/s²는 지구 표준 중력입니다). 그러면 두 질량이 공통으로 갖는 가속도의 크기와 연결된 줄에 걸리는 장력을 알려 줍니다. 두 질량이 같으면 시스템이 평형을 이루어 가속도는 0이 됩니다.

공식 풀이

각 질량에 뉴턴의 제2법칙을 적용한 뒤 두 식을 합치면 됩니다. 운동을 일으키는 알짜힘은 무게 차이인 $(\text{m}_1 - \text{m}_2)\text{g}$이고, 가속되는 전체 관성은 $(\text{m}_1 + \text{m}_2)$입니다. 따라서 다음과 같습니다.

$$a = \frac{\left| \text{m}_1 - \text{m}_2 \right| \cdot \text{g}}{\text{m}_1 + \text{m}_2}$$

이 가속도를 두 질량 중 어느 한쪽의 식에 다시 대입하면 줄의 장력을 얻습니다.

$$T = \frac{2 \cdot \text{m}_1 \cdot \text{m}_2 \cdot \text{g}}{\text{m}_1 + \text{m}_2}$$

이상적인 줄에서는 어느 지점에서나 이 장력이 동일하며, 그 값은 항상 두 질량의 무게 사이에 놓입니다.

장력과 무게를 보여주는 두 질량의 자유물체도 — 자유물체도: 각 질량에 장력 T는 위로, 무게는 아래로 작용한다.

예제 풀이

$\text{m}_1 = 5 \text{ kg}$, $\text{m}_2 = 3 \text{ kg}$, $\text{g} = 9.81 \text{ m/s}^2$라고 합시다. 가속도는 $$a = \frac{(5 - 3) \cdot 9.81}{5 + 3} = \frac{2 \cdot 9.81}{8} = 2.4525 \text{ m/s}^2$$입니다. 장력은 $$T = \frac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9.81}{8} = \frac{294.3}{8} = 36.7875 \text{ N}$$이 됩니다. 즉 두 질량은 약 2.45 m/s²로 가속되고, 줄에는 약 36.8 N의 힘이 걸립니다.

상수 & 참고값

입력하는 $g$ 값은 중력장 강도를 설정합니다. 국제적으로 정의된 표준 중력은 $g_0 = 9.80665\ \text{m/s}^2$이며, 물리 문제에서는 거의 항상 $9.81\ \text{m/s}^2$로 반올림합니다. 지구 표면의 값은 위도와 고도에 따라 약간씩 다르며, 다른 천체는 매우 다른 중력을 가집니다.

위치 / 천체	g (m/s²)	비고
표준 중력 (g₀)	9.80665	정의된 참고값
일반적인 교과서 값	9.81	반올림된 표준 중력
지구 적도 (해수면)	≈ 9.78	약간 더 약함 (지구 팽대 + 자전)
지구 극점 (해수면)	≈ 9.83	약간 더 강함
달	≈ 1.62	지구의 약 1/6
화성	≈ 3.71	지구의 약 3/8

대부분의 숙제와 실험 작업의 경우 $g = 9.81\ \text{m/s}^2$를 사용하세요. 문제에서 명시적으로 다른 천체(달, 화성)에서 일어난다고 할 때만 천체별 값을 사용하세요.

정의 & 용어

m₁ (kg): 두 개의 매달린 질량 중 첫 번째입니다. 이 계산기에서는 관례상 더 무거운 (내려가는) 질량이지만, 공식의 절댓값은 순서가 결과에 영향을 주지 않음을 의미합니다.
m₂ (kg): 다른 끝의 줄에 매달린 두 번째 질량입니다. 더 가벼운 질량은 위로 가속되고 더 무거운 질량은 아래로 가속됩니다.
a (m/s²): 공유하는 가속도의 크기입니다. 줄이 늘어나지 않으므로 두 질량 모두 매 순간 같은 속도와 가속도로 움직입니다. 하나는 위로, 하나는 아래로 움직입니다.
T (N): 줄의 장력(tension), 줄을 따라 전달되는 당기는 힘입니다. 이상적인 애트우드 기계에서 장력은 양쪽에서 동일하며 두 무게 사이의 값입니다.
g (m/s²): 각 질량에 무게 $W = mg$를 주는 국소 중력 가속도입니다. 지구에서는 보통 $9.81\ \text{m/s}^2$입니다.
늘어나지 않는 무질량 줄: 늘어나지 않는 (따라서 두 질량이 하나의 가속도를 공유하는) 이상화된 줄이며, 자체 질량이 없으므로 (장력이 전체에 걸쳐 같음) 실제 줄은 가볍고 뻣뻣할 때 이를 근사합니다.
마찰 없는 무질량 도르래: 회전 관성을 더하지 않고 축에 마찰이 없는 이상화된 도르래이므로 장력을 변경하지 않고 줄을 단순히 리디렉션합니다. 이것이 양쪽에서 같은 $T$를 가능하게 합니다.