حاسبة آلة أتوود

قوة شد الحبل	٣٦٫٧٨٧٥ N

ما هي آلة أتوود؟

آلة أتوود تجربة كلاسيكية في الفيزياء تتكوّن من كتلتين متصلتين بحبل غير قابل للاستطالة يمرّ فوق بكرة. في النسخة المثالية — أي بكرة عديمة الكتلة وخالية من الاحتكاك وحبل عديم الكتلة — تتسارع الكتلة الأثقل نحو الأسفل بينما تصعد الكتلة الأخف بالمقدار نفسه من التسارع. وتُعدّ من أبسط الطرق لتوضيح قانون نيوتن الثاني وقياس تسارع الجاذبية الأرضية داخل المختبر.

رسم تخطيطي لآلة أتوود بكتلتين على بكرة — آلة أتوود: كتلتان متصلتان بحبل فوق بكرة عديمة الاحتكاك.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل قيمة الكتلتين بالكيلوغرام إلى جانب قيمة تسارع الجاذبية المحلي (القيمة الافتراضية 9.81 م/ث² تمثّل الجاذبية الأرضية المعتادة). تعطيك الحاسبة مقدار التسارع المشترك بين الكتلتين وقوة الشد في الحبل الواصل بينهما. وإذا تساوت الكتلتان، فإن النظام يكون متوازنًا ويصبح التسارع صفرًا.

شرح المعادلة

طبّق قانون نيوتن الثاني على كل كتلة على حدة ثم اجمع المعادلتين معًا. القوة المحرّكة الصافية هي فرق الأوزان $(\text{m}_1 - \text{m}_2)\text{g}$، أما القصور الذاتي الكلي الذي يخضع للتسارع فهو $(\text{m}_1 + \text{m}_2)$. ومن هنا نحصل على:

$$a = \frac{\left| \text{m}_1 - \text{m}_2 \right| \cdot \text{g}}{\text{m}_1 + \text{m}_2}$$

وبتعويض قيمة التسارع في معادلة أي من الكتلتين نحصل على قوة شد الحبل:

$$T = \frac{2 \cdot \text{m}_1 \cdot \text{m}_2 \cdot \text{g}}{\text{m}_1 + \text{m}_2}$$

وتكون قوة الشد هذه متساوية على طول الحبل المثالي بأكمله، وتقع دائمًا بين وزني الكتلتين.

اعلان

مخططات الجسم الحر للكتلتين تُظهر قوتي الشد والوزن — مخططات الجسم الحر: الشد T يؤثر للأعلى والوزن للأسفل على كل كتلة.

مثال محلول

لنفترض أن $\text{m}_1 = 5$ كغ، و$\text{m}_2 = 3$ كغ، و$\text{g} = 9.81$ م/ث². يكون التسارع: $$\frac{(5 - 3) \cdot 9.81}{5 + 3} = \frac{2 \cdot 9.81}{8} = 2.4525 \text{ م/ث}^2$$ أما قوة الشد فهي: $$\frac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9.81}{8} = \frac{294.3}{8} = 36.7875 \text{ نيوتن}$$ إذًا تتسارع الكتلتان بمقدار يقارب 2.45 م/ث² بينما تشدّ الحبل قوة تقارب 36.8 نيوتن.

الثوابت والقيم المرجعية

القيمة التي تدخلها لـ $g$ تحدد قوة المجال الجاذبي. الجاذبية القياسية المعرّفة دولياً هي $g_0 = 9.80665\ \text{م/ث}^2$، يتم تقريبها تقريباً دائماً إلى $9.81\ \text{م/ث}^2$ لمسائل الفيزياء. تختلف قيمة سطح الأرض قليلاً باختلاف خط العرض والارتفاع، والأجسام الأخرى لها جاذبية مختلفة جداً.

الموقع / الجسم	g (م/ث²)	ملاحظة
الجاذبية القياسية (g₀)	9.80665	قيمة مرجعية معرّفة
قيمة الكتاب المدرسي النموذجية	9.81	الجاذبية القياسية المقربة
خط استواء الأرض (مستوى سطح البحر)	≈ 9.78	أضعف قليلاً (انتفاخ الأرض والدوران)
أقطاب الأرض (مستوى سطح البحر)	≈ 9.83	أقوى قليلاً
القمر	≈ 1.62	حوالي 1/6 من الأرض
المريخ	≈ 3.71	حوالي 3/8 من الأرض

بالنسبة لمعظم الواجبات المنزلية والعمل في المختبر، استخدم $g = 9.81\ \text{م/ث}^2$. استخدم قيمة خاصة بالجسم (القمر، المريخ) فقط عندما تشير المسألة صراحة إلى حدوثها هناك.

اعلان

التعريفات والمسرد

m₁ (كغ): أول من الكتلتين المعلقتين. في هذه الحاسبة، تُعتبر تقليدياً الكتلة الأثقل (الهابطة)، لكن القيمة المطلقة في الصيغة تعني أن الترتيب لا يؤثر على النتيجة.
m₂ (كغ): الكتلة الثانية المعلقة على الطرف الآخر من الحبل. تتسارع الكتلة الأخف نحو الأعلى بينما تتسارع الأثقل نحو الأسفل.
a (م/ث²): حجم التسارع المشترك. لأن الحبل غير قابل للتمدد، تتحرك كلا الكتلتين بنفس السرعة والتسارع في كل لحظة — واحدة لأعلى، واحدة لأسفل.
T (N): توتر الحبل، قوة الشد المنقولة على طول الحبل. في آلة أتوود المثالية، التوتر متطابق على كلا الجانبين ويقع بين الوزنين.
g (م/ث²): التسارع الجاذبي المحلي الذي يعطي كل كتلة وزنها $W = mg$. عادة $9.81\ \text{م/ث}^2$ على الأرض.
حبل غير قابل للتمدد وعديم الكتلة: حبل مثالي لا يتمدد (بحيث تشترك كلا الكتلتين في تسارع واحد) وليس له كتلة (بحيث يكون التوتر هو نفسه في جميع الأنحاء). الحبال الحقيقية تقترب من هذا عندما تكون خفيفة وقاسية.
بكرة عديمة الاحتكاك وعديمة الكتلة: بكرة مثالية لا تضيف قصوراً دورانياً ولا احتكاكاً عند محورها، بحيث تعيد توجيه الحبل ببساطة دون تغيير التوتر. هذا هو ما يسمح بنفس $T$ على كلا الجانبين.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا تساوت الكتلتان؟ يصبح التسارع صفرًا وتساوي قوة الشد وزن كل كتلة $(\text{m} \cdot \text{g})$، ويبقى النظام في حالة اتزان.

هل تأخذ الحاسبة كتلة البكرة أو الاحتكاك في الحسبان؟ لا — فهي تحاكي آلة أتوود مثالية فقط. أما البكرات الحقيقية ذات الكتلة أو الاحتكاك فتقلّل من التسارع قليلًا.

لماذا تقع قوة الشد دائمًا بين الوزنين؟ لأن الحبل يجب أن يسرّع الكتلة الأخف نحو الأعلى (فتكون $T > \text{m}_2\text{g}$) وأن يدع الكتلة الأثقل تهبط (فتكون $T < \text{m}_1\text{g}$).