एटवुड मशीन कैलकुलेटर

रस्सी का तनाव	36.7875 N

एटवुड मशीन क्या है?

एटवुड मशीन भौतिकी का एक क्लासिक प्रयोग है, जिसमें एक न खिंचने वाली रस्सी से जुड़े दो द्रव्यमान होते हैं और यह रस्सी एक घिरनी (पुली) के ऊपर से गुज़रती है। इसके आदर्श रूप में — जहाँ घिरनी और रस्सी दोनों द्रव्यमानहीन होती हैं और कोई घर्षण नहीं होता — भारी द्रव्यमान नीचे की ओर त्वरित होता है, जबकि हल्का द्रव्यमान उतने ही त्वरण के साथ ऊपर उठता है। न्यूटन के दूसरे नियम को समझाने और प्रयोगशाला में गुरुत्वीय त्वरण मापने के लिए यह सबसे आसान तरीकों में से एक है।

घिरनी पर दो द्रव्यमानों वाली एटवुड मशीन का आरेख — एटवुड मशीन: घर्षणरहित घिरनी पर डोरी से जुड़े दो द्रव्यमान।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

दोनों द्रव्यमानों को किलोग्राम में और स्थानीय गुरुत्वीय त्वरण दर्ज करें (डिफ़ॉल्ट मान 9.81 m/s² पृथ्वी का मानक गुरुत्व है)। कैलकुलेटर दोनों द्रव्यमानों के समान त्वरण का परिमाण और जोड़ने वाली रस्सी में तनाव बताता है। यदि दोनों द्रव्यमान बराबर हों, तो सिस्टम संतुलित रहता है और त्वरण शून्य होता है।

सूत्र की व्याख्या

प्रत्येक द्रव्यमान पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करें और दोनों समीकरणों को मिलाएँ। चलाने वाला शुद्ध बल भार का अंतर $(m_1 - m_2)g$ होता है, और जिस कुल जड़त्व को त्वरित किया जा रहा है वह $(m_1 + m_2)$ है। इससे मिलता है:

$$a = \frac{\left| m_1 - m_2 \right| \cdot g}{m_1 + m_2}$$

इस त्वरण को किसी भी एक द्रव्यमान के समीकरण में वापस रखने पर रस्सी का तनाव मिलता है:

$$T = \frac{2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot g}{m_1 + m_2}$$

आदर्श रस्सी में यह तनाव हर जगह एक समान रहता है और हमेशा दोनों द्रव्यमानों के अलग-अलग भारों के बीच में होता है।

दोनों द्रव्यमानों के मुक्त-पिंड आरेख जिनमें तनाव और भार बल दिखाए गए हैं — मुक्त-पिंड आरेख: प्रत्येक द्रव्यमान पर तनाव $T$ ऊपर और भार नीचे की ओर लगता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए $m_1 = 5 \text{ kg}$, $m_2 = 3 \text{ kg}$, और $g = 9.81 \text{ m/s}^2$। तब त्वरण होगा $$a = \frac{(5 - 3) \cdot 9.81}{5 + 3} = \frac{2 \cdot 9.81}{8} = 2.4525 \text{ m/s}^2$$ तनाव होगा $$T = \frac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 9.81}{8} = \frac{294.3}{8} = 36.7875 \text{ N}$$ यानी दोनों द्रव्यमान लगभग 2.45 m/s² के त्वरण से चलते हैं और रस्सी पर करीब 36.8 N का बल लगता है।

स्थिरांक और संदर्भ मान

$g$ के लिए जो मान आप दर्ज करते हैं वह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति निर्धारित करता है। अंतर्राष्ट्रीय स्तर पर परिभाषित मानक गुरुत्वाकर्षण $g_0 = 9.80665\ \text{m/s}^2$ है, जिसे भौतिकी समस्याओं के लिए लगभग हमेशा $9.81\ \text{m/s}^2$ तक पूर्णांकित किया जाता है। पृथ्वी की सतह का मान अक्षांश और ऊंचाई के साथ थोड़ा भिन्न होता है, और अन्य पिंडों का गुरुत्वाकर्षण बहुत अलग होता है।

स्थान / पिंड	g (m/s²)	नोट
मानक गुरुत्वाकर्षण (g₀)	9.80665	परिभाषित संदर्भ मान
विशिष्ट पाठ्यपुस्तक मान	9.81	पूर्णांकित मानक गुरुत्वाकर्षण
पृथ्वी विषुवत रेखा (समुद्र स्तर)	≈ 9.78	थोड़ा कमजोर (पृथ्वी की उभार + घूर्णन)
पृथ्वी के ध्रुव (समुद्र स्तर)	≈ 9.83	थोड़ा मजबूत
चंद्रमा	≈ 1.62	पृथ्वी का लगभग 1/6
मंगल	≈ 3.71	पृथ्वी का लगभग 3/8

अधिकांश होमवर्क और प्रयोगशाला कार्य के लिए, $g = 9.81\ \text{m/s}^2$ का उपयोग करें। पिंड-विशिष्ट मान (चंद्रमा, मंगल) का उपयोग केवल तभी करें जब समस्या स्पष्ट रूप से वहां होती है।

परिभाषाएं और शब्दावली

m₁ (kg): दो लटकते हुए द्रव्यमानों में से पहला। इस कैलकुलेटर में यह परंपरागत रूप से भारी (अवरोही) द्रव्यमान है, लेकिन सूत्र में पूर्ण मान का अर्थ है कि क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
m₂ (kg): डोरी के दूसरे सिरे पर दूसरा लटकता हुआ द्रव्यमान। हल्का द्रव्यमान ऊपर की ओर त्वरित होता है जबकि भारी द्रव्यमान नीचे की ओर त्वरित होता है।
a (m/s²): साझा त्वरण परिमाण। क्योंकि डोरी अप्रसारणीय है, दोनों द्रव्यमान हर समय एक ही गति और त्वरण के साथ चलते हैं — एक ऊपर, एक नीचे।
T (N): डोरी का तनाव, डोरी के साथ प्रेषित खींचने वाला बल। एक आदर्श एटवुड मशीन में तनाव दोनों ओर से समान होता है और दोनों भारों के बीच स्थित होता है।
g (m/s²): स्थानीय गुरुत्वाकर्षण त्वरण जो प्रत्येक द्रव्यमान को इसका भार $W = mg$ देता है। आमतौर पर पृथ्वी पर $9.81\ \text{m/s}^2$ होता है।
अप्रसारणीय, द्रव्यमानहीन डोरी: एक आदर्श डोरी जो खिंचाई नहीं करती (इसलिए दोनों द्रव्यमान एक त्वरण साझा करते हैं) और अपने आप में कोई द्रव्यमान नहीं होता है (इसलिए तनाव पूरे में समान होता है)। वास्तविक डोरी इसे अनुमानित करती है जब हल्की और कठोर हो।
घर्षणहीन, द्रव्यमानहीन滑車: एक आदर्श滑車 जो कोई घूर्णी जड़त्व और इसकी धुरी पर कोई घर्षण नहीं जोड़ता है, इसलिए यह केवल डोरी को पुनर्निर्देशित करता है बिना तनाव को बदले। यह है जो दोनों ओर समान $T$ की अनुमति देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर दोनों द्रव्यमान बराबर हों तो क्या होगा? त्वरण शून्य होता है और तनाव प्रत्येक भार $(m \cdot g)$ के बराबर होता है। सिस्टम संतुलन में बना रहता है।

क्या यह कैलकुलेटर घिरनी के द्रव्यमान या घर्षण को ध्यान में रखता है? नहीं — यह एक आदर्श एटवुड मशीन का मॉडल बनाता है। वास्तविक घिरनियों में द्रव्यमान या घर्षण होने पर त्वरण थोड़ा कम हो जाता है।

तनाव हमेशा दोनों भारों के बीच में क्यों होता है? क्योंकि रस्सी को हल्के द्रव्यमान को ऊपर की ओर त्वरित करना होता है (इसलिए $T > m_2 g$) और भारी द्रव्यमान को गिरने देना होता है (इसलिए $T < m_1 g$)।